【洛谷P5021】赛道修建【二分】【dfs】【并查集】【贪心】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P5021
给出一棵树，在树中选择边互不相交的$m$条路径，求这$m$条路径中最短的路径最大可以是多少。

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思路：

求最小值最大，考虑套路性二分。
如果我们要判断选择的$m$条路径最小的是否大于$mid$，我们就可以转换成判断长度超过$mid$的路径是否有$m$条。
我们假设先在处理到以$x$为根的子树，那么如果有一条边$(x,y)$（$y$为$x$子节点），那么如果$(x,y)$要做贡献只有一下三种方法：

1. 将一条连向$y$点的路径与自己组合。
2. 与另一条连向$x$点的路径与自己组合。
3. 与$x$的父节点上的路径组合。

容易发现，$x$与他父节点只有一条边，所以不可能会有$x$的两个子节点都连向$x$的父节点，这样边就重复了。
同时，如果有$y$的子节点连向$y$，再连向$x$，如果这条路径已经超过$mid$了，那么我们显然是不需要把这条路径再连$x$的另外一个子节点的。
所以说我们从叶子结点向根节点做，处理到点$x$时，我们就记录下$x$的所有子节点连上来的边的最大长度，然后再将这些边两两匹配，使得他们的长度超过$mid$。最后在将一条没有匹配到的最长的边给到$x$的父节点继续匹配。
注意匹配时要小边匹配大边，二分出一条使得和可以超过$mid$的边匹配，如果这条边已经被匹配过就往后一个一个找。这里我用了并查集来优化。
时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=50010;
int n,m,tot,l,r,mid,cnt,head[N],maxn[N],q[N],father[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[N*2];

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].dis=dis;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

int find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);
}

void dfs(int x,int fa,int len)
{
	int r=0,l=1;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa) dfs(v,x,len);
	}
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			q[++r]=maxn[v]+e[i].dis;
			vis[r]=0;
			father[r]=r;
		}
	}
	int k=r;
	sort(q+1,q+1+r);
	for (;q[r]>=len;r--) cnt++,vis[r]=1;
	for (;l<=r;l++)
	{
		if (vis[l]) continue;
		int p=lower_bound(q+l+1,q+r+1,len-q[l])-q;
		p=find(p);
		if (p<=r && p>l)
		{
			cnt++;
			vis[p]=vis[l]=1;
			father[find(l)]=find(l+1);
			father[find(p)]=find(p+1);
		}
	}
	for (int i=k;i>=1;i--)
		if (!vis[i])
		{
			maxn[x]=q[i];
			break;
		}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z); add(y,x,z);
	}
	l=0; r=1e9;
	while (l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		memset(maxn,0,sizeof(maxn));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		cnt=0;
		dfs(1,0,mid);
		if (cnt>=m) l=mid+1;
			else r=mid-1;
	}
	printf("%d",l-1);
	return 0;
}