jzoj3894. 改造二叉树（B组——Day7）

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本文探讨了如何将任意二叉树通过最小次数的节点值修改转化为二叉搜索树的问题。通过中序遍历获取节点序列，并利用最长不下降子序列(LIS)的概念，巧妙地解决了整数限制下的转化挑战。

jzoj3894.改造二叉树（B组——Day7）

题目

Description

小Y在学树论时看到了有关二叉树的介绍：在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子结点的有序树。通常子结点被称作“左孩子”和“右孩子”。二叉树被用作二叉搜索树和二叉堆。随后他又和他人讨论起了二叉搜索树。
什么是二叉搜索树呢？二叉搜索树首先是一棵二叉树。设key[p]表示结点p上的数值。对于其中的每个结点p，若其存在左孩子lch，则key[p]>key[lch]；若其存在右孩子rch，则key[p]<key[rch]；注意，本题中的二叉搜索树应满足对于所有结点，其左子树中的key小于当前结点的key，其右子树中的key大于当前结点的key。
小Y与他人讨论的内容则是，现在给定一棵二叉树，可以任意修改结点的数值。修改一个结点的数值算作一次修改，且这个结点不能再被修改。若要将其变成一棵二叉搜索树，且任意时刻结点的数值必须是整数（可以是负整数或0），所要的最少修改次数。
相信这一定难不倒你！请帮助小Y解决这个问题吧。

Input

第一行一个正整数n表示二叉树结点数。结点从1~n进行编号。
第二行n个正整数用空格分隔开，第i个数ai表示结点i的原始数值。
此后n - 1行每行两个非负整数fa, ch，第i + 2行描述结点i + 1的父亲编号fa，以及父子关系ch，(ch = 0 表示i + 1为左儿子，ch = 1表示i + 1为右儿子)。
结点1一定是二叉树的根。

Output

仅一行包含一个整数，表示最少的修改次数。

Sample Input

3
2 2 2
1 0
1 1

Sample Output

Data Constraint

20 % ：n <= 10 , ai <= 100.
40 % ：n <= 100 , ai <= 200
60 % ：n <= 2000 .
100 % ：n <= 10 ⁵ , ai < 2 ³¹.

解析

样例说明

思路

20% ：

暴力。

40% ：

可以用 DP 或者贪心或者神奇的暴力等其他奇怪的方法完成。

60% ：

正解的 LIS 打成 O(n ^ 2)。

100% ：

首先求出这颗二叉树的中序遍历，那么问题就转换成用最少的修改次数使这个整数序列严格单调递增。于是很自然的想到了 LIS，但单纯用 LIS 是有一些问题的，比如这种情况：2 3 1 4, LIS 为 2 3 4，答案求出来为 1，但由于整数的限制，应该要修改 2 次。即直接 LIS 求出的答案是在非严格递增的情况下的答案。

所以我们将原序列稍加修改，一个常见的将严格递增整数序列映射成非严格递增整
数序列的技巧就是将如下序列：
a1, a2, a3, a4 … an 映射成：
a1 - 1, a2 - 2, a3 - 3, a4 - 4 … an - n.
(这种方法常见于计数类问题)。
这样映射后求最长不下降子序列的长度就没问题了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map> 
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct point{
	int l,r;
}f[100005];

int n,tot;
int a[100005],b[100005],c[100005];

void dfs(int i){
	if (!i) return;
    dfs(f[i].l);
    b[++tot]=a[i];
    dfs(f[i].r);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) 
		scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=2;i<=n;++i){
    	int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (y==0) f[x].l=i;
        	else f[x].r=i;
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        b[i]-=i;
    tot=1;
    c[tot]=b[1];
    for (int i=2;i<=n;i++)
    	if (b[i]>=c[tot])	c[++tot]=b[i];
    		else{
	    		int l=1,r=tot;
    			while (l<=r){
    				int mid=(l+r)>>1;
    				if (c[mid]<=b[i]) l=mid+1;
    					else r=mid-1;
				}
				c[l]=min(c[l],b[i]);
			}
    printf("%d\n",n-tot);
    return 0;
}