Leetcode动态规划模板

0 前言

路径	基本要素	说明
核心基础	穷举法	需“聪明”穷举
存在问题	重叠子问题	有众多相同子问题(eg.多个f(18))，需记录
具备特点	最优子结构	原问题的解包含子问题的解
状态转移思维模式	自顶向下(推荐)	当前状态如何由前一个状态推出

目前所遇动态规划问题一般形式包括

形式	状态转移方程一般式（滚动数组）	初始化	遍历顺序
求最值	dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + val[i])	dp[0] = 0	物品和背包可颠倒 但先物品后容量耗时低
求组合数	dp[j] = dp[j] + dp[j - weight[i]]	dp[0] = 1	先物品，后背包容量
求排列数	dp[j] = dp[j] + dp[j - weight[i]]	dp[0] = 1	先背包容量，后物品

• 这里为什么变动一下遍历顺序，就从求组合数变成求排列数了呢？因为先遍历物品后遍历背包容量，隐含了我在《Leetcode回溯法四板一解模板》中提到的对待组合问题的first索引技巧，不用它则求解为排列问题（不得不说动态规划和回溯法面对同类型题，特定领域技巧是相通的）详情可以点击了解.
• 为什么在不要求遍历顺序的问题上，更推荐先遍历物品，再遍历背包容量呢？因为组合比排列有更少的搜索量！

背包集合	代码特点	原因	for外遍历顺序
0-1背包	背包容量for循环j--降序	不论容量多少最多装1次，避免累加	组合→先物品后背包 排列→先背包后物品
完全背包	背包容量for循环j++升序	容量越多最多可方便无限累加	组合→先物品后背包 排列→先背包后物品

1 解题思考模式

1.1 能不能用动态规划做？

由于面试解题没有时间进行数学验证，因此需要训练一些基本feeling，满足feeling即可果断尝试，十拿九稳！

• if能穷举出所有解，回溯法能不能搜索出所有解？if是, then回溯可得正确答案
• 原问题是否包含多个相同子问题？if是, then回溯可能会超时 (力扣：编辑距离)
• 子问题的解是否相互独立？，最起码独立可满足最优子结构性质
  ——独立：总高考分 = 语文成绩 + 数学成绩 + …，其中语文成绩与数学成绩无关
  ——相关：总高考分 = 语文成绩 + 数学成绩 + …，其中语文成绩与数学成绩成反比关系，导致无法同时最优
• 满足以上条件可用动态规划做

1.2 怎么用动态规划做？（七步走）

顺序	思考步骤	解释/例子
1	有什么状态？	容量，累计和，金额等
2	有什么选择？	该物品装与不装，该数值是否累计，该硬币是否添加等
3	dp[j]数组含义是什么？	索引j表状态(eg.容量)，返回值dp[j]是题目的解
4	如何定义状态转移？	任意状态由前状态经过怎样的选择转移达到(自顶向下)
5	如何初始化dp数组？	结合状态转移初始化，eg.max初始全0，求和dp[0]=1，有负数初始INT_MIN
6	for外遍历顺序？	求最值推荐先物品后背包，求组合先物品后背包，求排列先背包后物品
7	for内遍历顺序？	有状态压缩则背包容量for内降序，无状态压缩则升序

2 动态规划模板

2.1 通用模板

// 1.通用初始化
vector<int> dp(容量 + 1, base case1);
// 2.边界初始化
dp[0][0][...] = base case2
// 3.状态转移
for 状态1的个数
	for 状态2的个数
		for ...
			dp[状态1][状态2][...] = 求最值 or 求和(选择1, 选择2，...)

2.2 背包模板

以下模板均以状态压缩后的滚动数组为例

2.2.1 01背包模板

每个物品有装1次，或不装两个选择

[1] 最值问题

状态转移方程：背包容量下的最值 = max(不装物品i最值, 装物品i的最值)，最小反之

• 物品价值全部非负

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, 0);
for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
    for (int j = 背包容量; j >= 物品i的重量; j--) {
        // 3.背包容量下的最值 = max(不装物品i最值, 装物品i的最值)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - 物品i的重量] + 物品i的价值);
    }
return dp[背包容量];

• 物品价值存在负数 （初始化INT_MIN或INT_MAX + for内判断）

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, INT_MIN);
// 2.边界dp初始化
dp[0] = 0; 
for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
    for (int j = 背包容量; j >= 物品i的重量; j--) {
    	if (dp[i - 物品i的重量] == INT_MIN) continue;   // 因为不能有INT_MIN + 常数
        // 3.背包容量下的最值 = max(不装物品i最值, 装物品i的最值)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - 物品i的重量] + 物品i的价值);
    }
return dp[背包容量];

[2] 组合问题

• 返回具体组合数

状态转移方程：总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, 0);
// 2.边界dp初始化
dp[0] = 1;    // [关键]：根据状态转移方程，dp[0]须为1
for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
    for (int j = 背包容量; j >= 物品i的重量; j--) {
        // 3.总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数
        dp[j] = dp[j] + dp[j - 物品i的重量];
    }
return dp[背包容量];

• 返回组合的存在还是不存在

状态转移方程：组合是否有 = 不装物品i的组合是否有 || 装物品i的组合是否有

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, false);
// 2.边界dp初始化
dp[0] = true;    // [关键]：根据状态转移方程，dp[0]须为true
for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
    for (int j = 背包容量; j >= 物品i的重量; j--) {
        // 3.组合是否有 = 不装物品i的组合是否有 || 装物品i的组合是否有
        dp[j] = dp[j] || dp[j - 物品i的重量];
    }
return dp[背包容量];

[3] 排列问题

状态转移方程：总排列数 = 不装物品i的排列数 + 装物品i的排列数

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, 0);
// 2.边界dp初始化
dp[0] = 1;    // [关键]：根据状态转移方程，dp[0]须为1
for (int j = 1; j <= 背包容量; j++) {
    for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
        // 3.总组合数 = 不装物品i的排列数  + 装物品i的排列数 
        dp[j] = dp[j] + dp[j - 物品i的重量];
    }
return dp[背包容量];

2.2.2 完全背包模板

每个物品有装无限次，或不装两个选择

组合问题（背包容量for循环升序）

• 返回具体组合数

状态转移方程：总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数

// 1.通用dp初始化
vector<int> dp(背包容量 + 1, 0);
// 2.边界dp初始化
dp[0] = 1;    // [关键]：根据状态转移方程，dp[0]须为1
for (int i = 0; i < 物品总数; i++)
	for (int j = 物品i的重量; j <= 背包容量; j++) {
        // 3.总组合数 = 不装物品i的组合数 + 装物品i的组合数
        dp[j] = dp[j] = dp[j] + dp[j - 物品i的重量]; 
    }
return dp[背包容量];

刷题还在继续，持续总结中~

致谢

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