URAL 1309: Dispute

链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=20438

题意：给出一个数列，满足f(0) = 0; f(n) = g(n, f(n-1)); g(x, y) = ((y-1)*x^5 + x^3 - x * y + 3 * x + 7 * y) % 9973; 给出一个n，输出f(n) (0<=n<=10^8);

题解：观察式子g(x, y) = ((y-1)*x^5 + x^3 - x * y + 3 * x + 7 * y) % 9973，如果把x看成常数，则递推式关于y是线性的。其次，令M = 9973，f(n)关于f(n-1)是线性的，并且可以发现g(x,y) = g(x%M, y)，也就是说对于一个关于M的同余系里的x，存在f(x+M) = (A*f(x) + B) % M。求解f(x+kM)的时候，可以用O(M)的时间内算出A, B，然后利用A, B和f(x)在O(n/M)的时间内算出f(x+kM)，于是可以在O(M+n/M)的时间复杂度内解决这个问题。。。如果n比较大的话，对于周期上的计算可以利用快速幂优化。

当然这题还有一个比较无耻的做法。。。把所有的10^5倍数的结果打成一个表，对于一个n只要从n/10^5开始递推即可。。。。

这里有个ppt更详细的讲解了这题的做法：http://wenku.baidu.com/view/81df07768e9951e79b8927a9.html