SGU 246: Black & White

SDU_Phonism

于 2013-10-22 09:25:54 发布

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分类专栏： ACM 文章标签：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SDU_Phonism/article/details/12942235

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本文探讨了一道与项链珠子排列相关的数学问题，目标是在特定条件下找到最大的黑色珠子集合，使得任意两个黑色珠子之间的距离不为n-1。通过将问题转化为图论中的最大独立集问题，并利用欧几里得算法求解，最终得出解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=22194

题意：一条项链由2*n-1个珠子组成。求最小的k，使得所有具有k个黑色珠子的项链存在2个距离为n+1的黑色珠子。

题解：转换一下题意。想当与求最多的黑色珠子，使得任意2个黑色珠子的距离都不为n-1。把距离为n+1的点对连边。要求的等价于求这个图最大独立集。注意到该图是由gcd(n+1, 2*n-1)个长度为(2*n-1)/gcd(n+1, 2*n-1)个环组成的。而对与一个长度为L的环，最大独立集显然是L/2。所以最终结果是gcd(n+1, 2*n-1)*[(2*n-1)/gcd(n+1, 2*n-1)/2]+1。

代码君：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main() {
	int n, m;
	scanf("%d", &m);
	n = (m + 1) / 2;
	int tmp = gcd(n + 1, 2 * n - 1);
	int tem = (2 * n - 1) / tmp / 2;
	long long ans = (long long)tmp * tem + 1;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}