【算法竞赛学习笔记】数论（二）-数学提升计划

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本文介绍了如何利用中国剩余定理解决模数不互质的同余方程组，涉及斐波那契数列的通项公式推导，以及卡特兰数、斯特林数和卢卡斯定理的计算技巧。此外，还探讨了约瑟夫问题的解决方案，以及一系列信息技术领域的数论工具在实际问题中的应用。

title : 数论笔记（二）
date : 2021-8-5
tags : ACM,数论

在这里插入图片描述

拓展中国剩余定理

作用

解决模数不互质的问题

原理

合并和迭代思想
$\begin{cases} x\equiv a_1 \mod m_1\\ x\equiv a_2 \mod m_2\\ \end{cases}$

$那么m_1x_1+a_1=m_2x_2+a_2\\ m_1x_1=(a_2-a_1)+m_2x_2\\ m_1x_1=a_2-a_1 \mod m_2$

斐波那契数

递归方法定义 $F(0)=0，F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)，n\ge2$

用待定系数法推导通项公式：(推导过程繁琐，利用等比数列，可自行查阅资料)

$F(n)=\frac{\sqrt5}{5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]$

更普遍的形式：
$若F(n)=\begin{cases} f_0,n=0\\ f_1,n=1\\ a*F(n-1)+b*F(n-2),n>1 \end{cases}\\ 那么F(n)=\frac{k^n(f_1-mf_0)-m^n(f_1-kf_0)}{k-m}\\ 其中k,m=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2}$
斐波那契第一列通项公式(参考AHOI2004数字迷阵，第二行第一列的元素为前i-1行未出现的最小正整数，而A[i,2]=2A[i,1]-(i-1)

$f[i]=trunc(i*t+i-1),其中t=(1+\sqrt5)/2$

卡特兰数

Catalan Number，是组合数学中一个经常出现在技术问题的数列。

前几项为：1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900…

求卡特兰数列第n项

$1.递归公式1\quad f(n)=\sum^{n-1}_{i=0}f(i)×f(n-i-1)\\ 2.递归公式2\quad f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}\\ 3.组合公式1\quad f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\\ 4.组合公式2\quad f(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

常见的案例

左右括号、二叉树计算、欧拉多边形分割

斯特林数

第一类斯特林数

表示将n个不同元素构成m个圆排列的数目。

$S (n, m) = S (n - 1, m - 1) + n S (n - 1, m)$

第二类斯特林数

表示将n个不同元素拆分成m个集合的方案数

$S (n, m) = S (n - 1, m - 1) + m S (n - 1, m)$

卢卡斯定理

可以用来求 $C (n, m) m o d p$ 的值，其中n和m是非负整数，p是素数。

一般用于m,n很大而p很小，或者n,m不大但大于p，这样用阶乘就解决不了。

结论1

$Lucas(n,m,p)=C(n\%p,m\%p)*Lucas(n/p,m/p,p),Lucas(x,0,p)=1;\\ 计算组合数该用逆元：C(a,b)=(a!/(a-b)!)*(b!)^{(p-2)} \mod p$

结论2

把n写成p进制a[n]a[n-1]a[n-2]…a[0]，把m写成p进制b[n]b[n-1]b[n-2]…b[0]，则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[n-2])*…*C(a[0],b[0])模p同余

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;

int t,n,m,p;

int fpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

int C(int a,int b){
	if(a<b) return 0;
	if(b>a-b) b=a-b;
	int s1=1,s2=1;
	for(int i=0;i<b;i++){
		s1=s1*(a-i)%p; //a!/(a-b)!
		s2=s2*(i+1)%p; //b!
	}
	return s1*fpow(s2,p-2)%p; //逆元 
}

int Lucas(int a,int b){
	if(b==0) return 1;
	return C(a%p,b%p)*Lucas(a/p,b/p)%p;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m>>p;
		cout<<Lucas(n+m,n)%p<<endl;
	}
	return 0;
}

扩展卢卡斯定理

$在不保证p是质数的情况下，求C_n^m\mod p$

luoguP4720 【模板】扩展卢卡斯定理/exLucas

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

ll n, m, p;

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){ //扩展欧几里得 
	if (!b) x=1,y=0;
	else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}

inline ll fpm(ll x, ll power, ll Mod){ //快速幂 
	ll res = 1;
	for (; power; power>>= 1,(x*=x)%=Mod)
		if(power&1) (res*=x)%=Mod;
	return res;
}

inline ll fac(ll n, ll pi, ll pk){ // 求阶乘 
	if(!n) return 1;
	ll res=1;
	for(int i=2;i<=pk;i++) if(i%pi) (res*=i)%=pk;
	res=fpm(res,n/pk,pk);
	for(int i=2;i<=n%pk;i++) if(i%pi) (res*=i)%=pk;
	return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}

inline ll Inv(ll n, ll Mod){ //求逆元 
	ll x, y; Exgcd(n, Mod, x, y);
	return (x % Mod + Mod) % Mod;
}

inline ll CRT(ll b, ll Mod){ //中国剩余定理合并答案 
	return b*Inv(p/Mod, Mod)%p*(p/Mod)%p;
}

inline ll factor(ll x, ll Mod) { //求x!中包含Mod因子的数量 
	return x?factor(x/Mod,Mod)+(x/Mod):0;
}

inline ll Comb(ll n,ll m,ll pi,ll pk){ //求组合数,pi为模数p的因子 
	ll k=factor(n,pi)-factor(m,pi)-factor(n-m,pi);
	if (!fpm(pi,k,pk)) return 0;
	return fac(n,pi,pk)*Inv(fac(m,pi,pk),pk)%pk*Inv(fac(n-m,pi,pk),pk)%pk*fpm(pi,k,pk)%pk;
}

inline ll ExLucas(ll n, ll m){ //扩展卢卡斯定理 
	ll res=0,tmp=p;
	for(int i=2;i<=sqrt(p+.5);i++) if(!(tmp%i)){ //枚举模数因子 
		ll pk=1;
		while(!(tmp%i)) pk*=i,tmp/=i;
		(res+=CRT(Comb(n,m,i,pk),pk))%=p; //合并所有结果 
	}
	if(tmp>1) (res+=CRT(Comb(n,m,tmp,tmp),tmp))%=p; //不要漏掉 
	return res;
}

signed main(){
	cin>>n>>m>>p;
	printf("%lld\n",ExLucas(n,m));
	return 0;
}

约瑟夫问题

n个人，每次跳k。求最后一个被淘汰的人的位置

int Josephus(int n, int k) {
	if (n == 1) return 0;
	int res = 0;
	if (n < k) {
		For (i, 2, n)
			res = (res + k) % i;
		return res;
	}
	res = Josephus(n - n / k, k);
	if (res < n % k) 
		res = res - n % k + n;
	else 
		res = res - n % k + (res - n % k) / (k - 1);
	return res;
}