poj - 2992 - Divisors

jchalex

于 2013-02-08 04:20:37 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种高效算法来计算组合数C(n,k)的约数个数，适用于0≤k≤n≤431的范围。算法基于三个关键公式：1) 计算n!中特定素数p的个数；2) 组合数的定义；3) 一个整数的约数个数与其质因数分解的关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：求组合数C(n, k)的约数的个数 (0 ≤ k ≤ n ≤ 431)。

题目链接：http://poj.org/problem?id=2992

——>>3个公式：

1、n!中含素数p的个数为n/p + n/p^2 + n/p^3 + ...（到0停）程序中通过cal函数实现

2、C(n, k) = n! / (n-k)! / k!

3、n = p1^a1*p2^a2*...*pk^ak约数的个数为（a1+1）(a2+1)...(ak+1)

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 431 + 10;
int p[maxn], m;
long long C[maxn][maxn];

void prime_table()      //筛法素数打表
{
    bool vis[maxn];
    int i, j;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(i = 2; i <= 431; i++)
        if(!vis[i]) for(j = (i<<1); j <= 431; j += i) vis[j] = 1;
    m = 0;
    for(i = 2; i <= 431; i++)
        if(!vis[i]) p[m++] = i;
}
long long cal(int n, int pri)       //n!含素数pri的个数
{
    return (n < pri) ? 0 : (n/pri + cal(n/pri, pri));
}
int main()
{
    int n, k, i;
    prime_table();
    while(~scanf("%d%d", &n, &k))
    {
        long long sum = 1;
        for(i = 0; i < m; i++) sum *= (cal(n, p[i])-cal(n-k, p[i])-cal(k, p[i])+1);
        printf("%I64d\n", sum);
    }
    return 0;
}