无向图的最小环问题 (Floyd算法)

本文介绍了一种使用Floyd算法寻找带权图中最小环的方法。通过枚举环中最大节点及与其相邻的两个节点,计算所有可能环的大小,并找出最小值。文章详细解释了为何选择与最大节点直接相连的点,并提供了完整的代码实现。

问题描述:

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解题思路:

我们首先假设存在这么一个不少于三个点的环,那么他肯定是由这么至少三个点组成的:

  • k k k 点,环中编号最大的点。
  • i i i 点和 j j j 点,图中与 k k k 直接相连的两个不相同的点。

他们的大概结构如图:
在这里插入图片描述
此时,若这三个点共环,那么肯定存在一条 i ∼ j i\sim j ij 的路径,使得 i    − > j i~~->j i  >j

在这里插入图片描述
同时,肯定存在各一条边使得 k    − > i k~~->i k  >i 以及 j    − > k j~~->k j  >k

在这里插入图片描述
知道了环中三点的关系,我们就能通过枚举 k     i     j k~~~i~~~j k   i   j 来求出所有环的大小。
g i , j g_{i,j} gi,j

要使用Floyd算法找到无向图最小环,可以先使用Floyd算法求出图中任意两个顶点之间的最短路径,然后再遍历所有的三角形(三个顶点组成的环)找到最小的环。 以下是一个使用Python实现Floyd算法求解无向图最小环的示例: ```python INF = float('inf') def floyd(graph): n = len(graph) dist = [[INF] * n for _ in range(n)] # 初始化距离矩阵 next_vertex = [[-1] * n for _ in range(n)] # 记录最短路径上的下一个顶点 # 初始化距离矩阵和下一个顶点矩阵 for i in range(n): for j in range(n): if i == j: dist[i][j] = 0 elif graph[i][j] != 0: dist[i][j] = graph[i][j] next_vertex[i][j] = j # 使用Floyd算法计算最短路径和下一个顶点 for k in range(n): for i in range(n): for j in range(n): if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]: dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j] next_vertex[i][j] = next_vertex[i][k] return dist, next_vertex def find_min_cycle(graph): n = len(graph) min_cycle_length = INF dist, next_vertex = floyd(graph) # 遍历所有三角形,找到最小的环 for u in range(n): for v in range(u+1, n): for w in range(v+1, n): if graph[u][v] != 0 and graph[v][w] != 0 and graph[w][u] != 0: cycle_length = dist[u][v] + dist[v][w] + dist[w][u] - 2 * (graph[u][v] + graph[v][w] + graph[w][u]) if cycle_length < min_cycle_length: min_cycle_length = cycle_length return min_cycle_length ``` 使用上述代码,可以通过传入一个邻接矩阵表示的无向图,来计算出最小环的长度。其中,`graph`是一个二维列表,表示图的邻接矩阵,如果两个顶点之间没有边,则对应位置的值为0。 注意,这里的最小环指的是由三个顶点组成的环,并且每个顶点都与相邻的两个顶点相连。如果图中不存在这样的环,则返回无穷大(INF)。 希望能够帮助到你!如有更多问题,请继续提问。
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