每周一算法:无向图的最小环

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题目描述

给定一张无向图,求图中一个至少包含 333 个点的环,环上的节点不重复,并且环上的边的长度之和最小。

该问题称为无向图的最小环问题。

你需要输出最小环的方案,若最小环不唯一,输出任意一个均可。

输入格式

第一行包含两个整数 NNNMMM,表示无向图有 NNN 个点,MMM 条边。

接下来 MMM 行,每行包含三个整数 u,v,lu,v,luvl,表示点 uuu 和点 vvv 之间有一条边,边长为 lll

输出格式

输出占一行,包含最小环的所有节点(按顺序输出),如果不存在则输出 No solution.

样例 #1

样例输入 #1

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

样例输出 #1

1 3 5 2

提示

【数据范围】

1≤N≤1001≤N≤1001N100,
1≤M≤100001≤M≤100001M10000,
1≤l<5001≤l<5001l<500

算法思想

根据题目描述,求的是无向图中的最小环,要求环中至少包含 333 个节点,且环上的节点不重复。当边权都为正数式,最小环中的节点一定不会重复,否则就不是最小环了,如下图所示。

在这里插入图片描述

求最小环的长度

无向图的最小环问题可以使用「Floyd」算法解决。基本思想是:

  • 当外层循环kkk刚开始时,d[i,j]d[i,j]d[i,j]保存着从节点iiijjj经过编号不超过k−1k-1k1的最短路径长度
  • 此时,如果引入新节点kkk构成了环,那么环的长度为d[i,j]+g[j][k]+g[k][i]d[i,j]+g[j][k]+g[k][i]d[i,j]+g[j][k]+g[k][i],如下图所示:
    在这里插入图片描述
    那么,min{d[i,j]+g[j][k]+g[k][i]}min\{d[i,j]+g[j][k]+g[k][i]\}min{d[i,j]+g[j][k]+g[k][i]},其中1≤i<j<k1\le i\lt j\lt k1i<j<k,就是满足以下两个条件的最小环长度:
    • 由编号不超过kkk的节点构成
    • 经过节点kkk

1∼n1\sim n1n枚举kkk,取上式的最小值,就可以得到整张图的最小环长度。

求最小环上的节点

除了计算最小环之外,题目还要求记录最小环的上所有节点。当更新最小环时,环上的节点包含iiiiiijjj之间最短路上的节点,以及iiikkk。那么如何得到iiijjj之间最短路上的节点

使用Floyd算法计算最短路时,当d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]时,可以更新节点iiijjj的最短路,同时记录节点iiijjj的最短路是经过kkk点中转得到的,不妨记pos[i,j]=kpos[i,j]=kpos[i,j]=k

那么经过节点iiijjj的最短路径的可以分成两个部分:

  • 节点iiikkk的最短路
  • 节点kkkjjj的最短路

可以通过递归的方式,分别获取这两部分经过的节点。

时间复杂度

Floyd算法内可以同时求最小环和最短路,因此时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N], d[N][N];
int pos[N][N];//pos[i][j]表示i和j最短路经过k点中转
vector<int> path; //保存最小环路径
void get_path(int i, int j)
{
    if(pos[i][j] == 0) return; //i和j之间不存在中转点
    int k = pos[i][j]; //k是i和j最最短路的中转点
    get_path(i, k); //递归后取i-k最短路上的节点
    path.push_back(k);
    get_path(k, j); //递归后取k-j最短路上的节点
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g); //初始化邻接矩阵
    for(int i = 1; i <= n; i ++) g[i][i] = 0;
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); //无向图,可能存在重边
    }
    int ans = INF;
    memcpy(d, g, sizeof d); //初始化最短路
    for(int k = 1; k <= n; k ++)
    {
        //计算由编号不超过k的节点构成的最小环
        for(int i = 1; i < k; i ++) //枚举环中的点
            for(int j = i + 1; j < k; j ++)
            {
                if((long long)d[i][j] + g[j][k] + g[k][i] < ans) //出现更小的环
                {
                    ans = d[i][j] + g[j][k] + g[k][i];
                    path.clear(); //清除之前的最小环路径
                    path.push_back(k); //k-i-最短路路径-j
                    path.push_back(i);
                    get_path(i, j);//获取i-j最短路径上的节点
                    path.push_back(j);
                }
            }
        //计算最短路
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++)
                if(d[i][j] > d[i][k] + d[k][j])
                {
                    d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
                    pos[i][j] =k; //记录最短路中转点
                }
    }
    if(ans == INF) puts("No solution.");
    else //存在最小环
    {
        for(int i : path) cout << i << " ";
    }
}
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