多项式求逆学习笔记

最新推荐文章于 2021-01-02 23:30:33 发布

Rose_max

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本文探讨了在模意义下求多项式逆元的问题，利用快速傅里叶变换（FFT）进行高效计算，通过逐步扩增多项式长度，实现逆元的精确求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

老年颓废选手深感无力…
水题一堆堆真是痛苦
点点技能树愉悦身心

定义

有一个多项式 $A (x)$ ，现在要你找一个多项式 $B (x)$ 使得
$A(x)B(x)≡1(mod  xn)A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^n)$
$mod  xn\mod x^n$ 的意义是截断 $x^n$ 及以后的更高项。不截断的话，根据二项式定理，除非 $A (x)$ 仅有常数项，否则 $B (x)$ 有无限项

求逆

像 $F F T$ 一样把长度先扩到 $2^k$
假设当前我们已经知道一个多项式 $G (x)$ 能使得
$A(x)G(x)≡1(mod  xn2)A(x)G(x)\equiv 1(\mod x^{\frac{n}{2}})$
我们知道 $A(x)B(x)≡1(mod  xn)A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^n)$ ，所以也有 $A(x)B(x)≡1(mod  xn2)A(x)B(x)\equiv 1(\mod x^{\frac{n}{2}})$
两式组合有
$A(x)(G(x)−B(x))≡0(mod  xn2)A(x)(G(x)-B(x))\equiv 0(\mod x^{\frac{n}{2}})$
由于已经知道 $A(x)≠0A(x)\neq 0$ ，所以只有 $\equiv 0$
平方有
$(G(x)−B(x))2≡0(mod  xn)(G(x)-B(x))^2\equiv 0(\mod x^n)$
注意到我们这里扩大到了 $x^n$
不妨设多项式 $C (x) = G (x) - B (x)$
显然 $C(x)^2$ 中任意一个系数均有 $C(i)2=∑C(j)∗C(i−j)C(i)^2=\sum C(j)*C(i-j)$ ，而其中至少有一项等于 $0$ ，所以可以扩大到 $x^n$
化开可以得到
$G(x)2+B(x)2−2∗G(x)B(x)≡0(mod  xn)G(x)^2+B(x)^2-2*G(x)B(x)\equiv 0(\mod x^n)$
乘上 $A (x)$ 有
$A(x)G(x)2+B(x)−2∗G(x)≡0(mod  xn)A(x)G(x)^2+B(x)-2*G(x)\equiv 0(\mod x^n)$
因为早就知道有 $A(x)B(x)≡1A(x)B(x)\equiv 1$ 可以直接得到上式
移项可得
$B(x)≡2∗G(x)−A(x)G(x)2B(x)\equiv 2*G(x)-A(x)G(x)^2$
可以 $F F T$ 优化了…
复杂度 $T(n)=T(n2)+O(nlogn)T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)$ 为 $n l o g n$

板子

LL pow_mod(LL a,LL b)
{
	LL ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int R[110000*4],L;
void NTT(LL *y,int len,int on)
{
	for(int i=0;i<len;i++)if(i<R[i])swap(y[i],y[R[i]]);
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
	{
		LL wn=pow_mod(3,(mod-1)/(i<<1));if(on==-1)wn=pow_mod(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
		{
			LL w=1;
			for(int k=0;k<i;k++)
			{
				LL u=y[j+k];
				LL v=y[j+k+i]*w%mod;
				y[j+k]=(u+v)%mod;
				y[j+k+i]=(u-v+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if(on==-1)
	{
		LL temp=pow_mod(len,mod-2);
		for(int i=0;i<len;i++)y[i]=(y[i]*temp)%mod;
	}
}
LL A[110000*4],G[110000*4],B[110000*4];
void getinv(LL *B,int len)
{
	if(len==1){B[0]=pow_mod(A[0],mod-2);return ;}
	getinv(B,len>>1);
	int ln;L=0;
	for(ln=1;ln<=len;ln<<=1)L++;
	for(int i=0;i<ln;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|(i&1)<<(L-1);
	for(int i=0;i<len;i++)G[i]=A[i];
	for(int i=len;i<ln;i++)G[i]=B[i]=0;
	NTT(G,ln,1);NTT(B,ln,1);
	for(int i=0;i<ln;i++)B[i]=(B[i]*(2-G[i]*B[i]%mod)+mod)%mod;
	NTT(B,ln,-1);
	for(int i=len;i<ln;i++)B[i]=0;
}