多项式各种算法学习笔记

1.FFT(快速傅里叶变换)

1.前置技能

复数:
基本表示法及性质:

$$i=\sqrt{-1}$$

$i$是虚数单位

1.坐标(代数)形式：
$$z=a+bi$$

当b为0是z为实数，当a为0时为纯虚数

注:复数包括实数和虚数，虚数下有纯虚数

虚数z对应了复平面上的一点(a,b)

运算法则：
设复数$z_1,z_2,z_1=a+bi,z_2=c+di$

加法:$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
减法:$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
乘法:$z_1\ast z_2=(ac-bd)+(bc+ad)i$
除法:$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)}$

2.三角形式

$$z=r(cos\theta +isin\theta )$$

$\theta$是复数$z$的幅角,$r$是该复数的模长

这种形式下的乘法和除法运算更方便，通过和角公式，对于复数$z_1=r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1),z_2=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)$
那么：
$$\begin{gathered} z_1{z}_2=r_1{r}_2(cos({\theta }_1+{\theta }_2)+isin({\theta }_1+{\theta }_2)) \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(cos({\theta }_1-{\theta }_2)+isin({\theta }_1-{\theta }_2)) \end{gathered}$$

几何意义:相当于把该复数 拉长/缩短 到另一个复数模长 倍/分之一 ,然后 顺时针/逆时针 旋转另一个复数的幅角大小的角度

于是有了如下非常有用的公式:
$$z^n=(r(cos\theta +isin\theta ){)}^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta )$$

3.指数形式

$$z=r{e}^{i\theta }$$

于是我们知道了:$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

可以发现:$$e^{i\pi }=-1$$
(优美)

这个算乘除法就更好算了:
有:
$$\begin{gathered} z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)} \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i(\theta )} \end{gathered}$$

上面的那个公式就可写成这样：
$$z^n=r^n{e}^{i(n\theta )}$$

4.单位复数根

学FFT最重要的就这个了吧
设有如下方程:
$$z^n=1$$

这方程的复数根$z$为$n$次单位根,通常记为$w$
这样的根$w$有n个，也就是说$n$次单位根有$n$个,记为$w_k(k=0,1,2,\dots n-1)$
其中:
$$w_k=cos\frac{2k\pi }{n}+isin\frac{2k\pi }{n}=e^{\frac{2\pi ki}{n}}$$

不难发现其实$n$次单位复数根就是把复平面上的单位圆 $n$ 等分后的那些$n$等分点

一些次数单位的单位根举例:

1次单位根: $1$
2次单位根: $1,-1$
3次单位根: $1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
$\dots$
其实就是个解二元n次方程

可以发现1是任意次的单位复数根，-1是任意偶数次单位复数根

某些引理:

1.消去引理
$$w_{dn}^{dk}=w_n^k$$

把复数的指数形式带进去就可以了
说人话就是不同次数的单位根可以互相转化

2.折半引理
假设$n$是大于0的偶数:
$$(w_n^{k+\frac{n}{2}}{)}^2=w_n^{2k+n}=w_n^{2k}\ast w_n^n=(w_n^k{)}^2$$

说人话就是n次单位复数根的前后两半平方后是对应相等的

3.求和引理

对于大于1的整数n和小于等于n的整数k有:
$$\sum _{i=0}^{n-1}(w_n^k{)}^i=0$$

这就是个等比数列求和

2.步入正题

常规的一个最高次数为n-1的多项式的表示形式是系数表示法,如:
$$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$$
一共有n项
按照朴素的多项式乘法(卷积),就是每一项两两相乘，复杂度为$O(n^2)$

如果我们把多项式看成一个函数，我们取图像上的n个点来表示这个函数也即该多项式，这样的表示法叫做点值表示法

对于两个n-1次多项式,由于我们最后卷积出来的多项式是2n-2次的,如果我们知道了卷积后的多项式函数图像上的至少2n-1个点，那么我们就可以确定这个多项式了

所以有如下想法：
现在原来的两个多项式上选取好x值相同的点(个数为原来两多项式次数的和加1)，用$O(n)$的时间将选的点的y值相乘，得到的值用某种方法~~(待定系数法)~~转化为多项式系数的形式

如果选取的x都是n次单位复数根的k次方，那么以上两个过程就是$DFT$和$IDFT$了

1.$DFT$

离散傅里叶变换：
对于$k\in [0,n-1],$和n-1次多项式$A(x),$定义:
$$y_k=A(w_n^k)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i(w_n^k{)}^i$$

这个叫做离散傅里叶变换，记做$y=DF{T}_n(a)$

朴素求$DFT$,是$O(n^2)$的

2.$IDFT$

逆离散傅里叶变换:

就是$DFT$的逆运算，用于求出多项式的系数a，记为$DF{T}^{-1}$

本人太弱不会证，丢个式子:
$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i(w_n^{-k}{)}^i$$

由于写的时候系数表达式和点值表达式是共用的数组，所以写起来和$DFT$没什么差别

3.$FFT$

快速傅里叶变换:

是一种快速求出$DFT$和$DF{T}^{-1}$的算法，利用了单位复数根的优良性质

我们先列出朴素求$DFT$的步骤,为了方便这里先不妨假设多项式次数为2的幂:
1.求出n次单位复数根的幂:$w_n^0,w_n^1,w_n^2.....w_n^{n-1}$
2.代入多项式$A(x)$,求得以下式子:
$$\begin{gathered} A(w_n^0)=a_0+a_1{w}_n^0+a_2(w_n^0{)}^2+a_3(w_n^0{)}^3+\dots a_{n-1}(w_n^0{)}^{n-1} \\ A(w_n^1)=a_0+a_1{w}_n^1+a_2(w_n^1{)}^2+a_3(w_n^1{)}^3+\dots a_{n-1}(w_n^1{)}^{n-1} \\ A(w_n^2)=a_0+a_1{w}_n^2+a_2(w_n^2{)}^2+a_3(w_n^2{)}^3+\dots a_{n-1}(w_n^2{)}^{n-1} \\ A(w_n^3)=a_0+a_1{w}_n^3+a_2(w_n^3{)}^2+a_3(w_n^3{)}^3+\dots a_{n-1}(w_n^3{)}^{n-1} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ A(w_n^{n-1})=a_0+a_1{w}_n^{n-1}+a_2(w_n^{n-1}{)}^2+a_3(w_n^{n-1}{)}^3+\dots a_{} \end{gathered}$$