【JoyOI 2020】Rainbow的信号

传送门

---

Problem

给出 $n$ 个数，等概率地选取两个数 $l$、$r$（如果 $l>r$，则交换 $l$、$r$），把第 $l$ 个数到第 $r$ 个数取出来，构成一个数列 $\mathrm{P}$，现在请你计算三个值 $a,b,c$。

$a$ 是数列 $\mathrm{P}$ 的 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和的数学期望值。$\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和就是数列 $\mathrm{P}$ 中各个数异或之后得到的数；$\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和的期望就是对于所有可能选取的 $l$、$r$，所得到的数列的 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和的平均数。

$b$ 是数列 $\mathrm{P}$ 的 $\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$ 和的期望，定义类似于 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和。

$c$ 是数列 $\mathrm{P}$ 的 $\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和的期望，定义类似于 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和。

数据范围：$1\le n\le 100000$，$n$ 个自然数均不超过 $10^9$。

---

Solution

很好的一道题。

由于位运算是按位计算，各个位之间互不影响，所以我们可以把每个位拆开单独考虑。

按照题目中的选择方式，长度为 $1$ 的序列（即 $l=r$）被选出来的概率为 $\frac{1}{n^2}$，其他的都是 $\frac{2}{n^2}$。因此，对于序列的每一个数，如果第 $k$ 位是 $1$，就先累加 $2^k\times \frac{1}{n^2}$ 进答案。那么接下来就只用考虑长度 $>1$ 的序列了。

我们枚举右端点 $r$，用 $las{t}_k(k=0,1)$ 表示 $k$ 上一次出现的位置。

对于 $\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$ 和

显然只有当第 $r$ 位是 $1$，且 $l\in [las{t}_0+1,r-1]$ 时 $\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$ 为 $1$。

所以第 $r$ 位是 $1$ 时，就累加 $2^k\times (r-las{t}_0-1)\times \frac{2}{n^2}$。

对于 $\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和

若第 $r$ 位是 $1$，那 $l\in [1,r-1]$ 时 $\mathrm{o}\mathrm{r}$ 都是 $1$，此时累加 $2^k\times (r-1)\times \frac{2}{n^2}$。

若第 $r$ 位不是 $1$，那当 $l\in [1,las{t}_1]$ 时 $\mathrm{o}\mathrm{r}$ 是 $1$，此时累加 $2^k\times las{t}_1\times \frac{2}{n^2}$。

对于 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 和

如果我们枚举 $l$ 从做左往右扫描，当遇到 $0$ 时 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 不变，遇到 $1$ 时 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 取反。

那我们可以以 $1$ 作为分界，把序列分为几段，在同一段取 $l$ 时 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 的值相同，相邻段取 $l$ 的 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 相反。

我们建立两个变量 $t_1,t_2$。$t_1$ 记录从 $r-1$ 数起，第 $1,3,5,...$ 段的总长；$t_2$ 记录第 $2,4,6,...$ 段的总长。

当第 $r$ 位是 $1$ 时，$t_1$ 是能使 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 为 $1$ 的数的个数，那么此时累加 $2^k\times t_1\times \frac{2}{n^2}$。

同理，当第 $r$ 位是 $0$ 时，$t_2$ 是能使 $\mathrm{x}\mathrm{o}\mathrm{r}$ 为 $1$ 的数的个数，此时累加 $2^k\times t_2\times \frac{2}{n^2}$。

当右端点变为 $r+1$ 时，令 $t_1=t_1+1$，若 $r+1$ 位是 $1$，还要交换 $t_1,t_2$。

---

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
int n,a[N];
double Xor(){
	int i,j;
	double ans=0;
	for(j=0;j<31;++j){
		int t1=0,t2=0;
		for(i=1;i<=n;++i){
			if(a[i]&(1<<j))  ans+=1.0*(1<<j)*t1*2.0/n/n;
			else  ans+=1.0*(1<<j)*t2*2.0/n/n;
			t1++;  if(a[i]&(1<<j))  swap(t1,t2);
		}
	}
	return ans;
}
double And(){
	int i,j;
	double ans=0;
	for(j=0;j<31;++j){
		int last0=0;
		for(i=1;i<=n;++i){
			if(a[i]&(1<<j))
			  ans+=1.0*(1<<j)*(i-last0-1)*2.0/n/n;
			if(!(a[i]&(1<<j)))  last0=i;
		}
	}
	return ans;
}
double Or(){
	int i,j;
	double ans=0;
	for(j=0;j<31;++j){
		int last1=0;
		for(i=1;i<=n;++i){
			if(a[i]&(1<<j))  ans+=1.0*(1<<j)*(i-1)*2.0/n/n;
			else  ans+=1.0*(1<<j)*last1*2.0/n/n;
			if(a[i]&(1<<j))  last1=i;
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	double temp=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)  scanf("%d",&a[i]),temp+=1.0*a[i]/n/n;
	printf("%.3lf %.3lf %.3lf",temp+Xor(),temp+And(),temp+Or());
	return 0;
}