【例题详解】选课：树形背包入门题

选课（树上背包）

题目描述

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了N（N < 300）门的选修课程，每个学生可选课程的数量M是给定的。学生选修了这M门课并考核通过就能获得相应的学分。

在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其它的一些课程的基础上才能选修。例如《Frontpage》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Frontpage》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。每门课都有一个课号，依次为1，2，3，…。 例如:

上例中1是2的先修课，即如果要选修2，则1必定已被选过。同样，如果要选修3，那么1和2都一定已被选修过。 　　你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

Solution
首先，这道题有多个课程，我们需要连接一个虚拟课程0，使得一共有n+1个点。使得n个点构成的森林结构能够形成一根有根数，有利于树形DP。然后我们就可以考虑如何进行树形DP。

设f[i][j]为以第i个节点为根节点课程（即i是所有i的子节点的先修课程），在这个子树修完j个课程所能获得的最多的学分。显然，$f[i][0]=0.$

因为第i个节点同时为多个节点的父亲，而它剩下了j-1个课程，因此就由所有的子节点来均分这一课程。只需要满足所有子节点的课程之和为j-1。

考虑状态转移：$$f[i][j]=max(\sum _{k\in son(i)}f[k][p])+wi,$$