网络流24题

先简单写写题解，后面再更新图片啥的

飞行员配对方案问题

二分图最大匹配+输出路径，简单题

太空飞行计划问题

最大权闭合图，最大闭合子图解=$\sum p_i-maxflow$，同时发现利用d数组就能完成输出方案，因为这个相当于求一个最小割，最小割由d数组可以很好地求方案

最小路径覆盖问题

将图按照二分图的方法建图，然后跑一个最大匹配，因为二分图的每个匹配，相当于在原图中加了一条边，那么答案很明显就是$n-maxflow$

魔术球问题

有了上面这个题的基础，发现也是一个最小路径覆盖问题。将每个数字和比自己大且和为平方数的数连边，然后就和上个题一样了，二分，判断是否可行的时候就是判断下路径数是否合法

圆桌问题

二分图多重匹配，只要将源点和一段的连线改变下权值即可。
这里其实能够发现，二分图的输出路径是非常方便的，因为本身就是最大流，所以根据流量就能判断，而且二分图标号也是确定且连续的

试题库问题

还是二分图多重匹配，把上面的代码拉过来改改就行

最长不下降子序列问题

首先求出每一位的dp[i]，然后，因为每个数字最多使用一次，所以要拆点。利用分层思想，将$i<j$ $a[i]\le a[j]$ $dp[i]+1=dp[j]$的建边，同时让$dp[i]=1$的与源点建边，$dp[i]=k$的与汇点建边，这样答案就是最大流，具体思路就是分层思路，你每多走一条边，其实就是在dp中多匹配了一位。
第三问，则是将1和1+n，n和2n的流设为无限大，源点和1的也可以设为无限大，但是2*n和汇点则需要考虑下dp[n]的值，意思很好理解，因为源点的流会被汇点所限制，同时只有达到最长的才能被接受

机器人路径规划问题

文献
似乎数据有问题+不是网络流，坑了

方格取数问题

首先这是一个二分图，相当于求一个带权二分图最大独立集，二分图最大独立集答案为$n-maxflow$，这个图有权值，可以将源点向左边点建立流量为a[i]的边，右边的点向汇点建立流量为a[i]的边，中间则是左边向右边建立流量为inf的边，注意，不能再建立右边向左边，因为那样相当于左右都是无限大的流量（再次明白了，二分图建边要谨慎）

餐巾计划问题

有点难想的费用流，首先，这道题是第一见到拆点后两点不连边的。
我们将一天当作两个点，左边是干净，右边是脏，中间不能连边，因为源点与汇点向左右的连边相当于完成了这个过程。
此题还有一个trick，就是当我们将一些物品处理好后，可以在i，i+1之间连边，这么做的意义就是将物品传递下去，而不是将处理好的点不停向下建边

航空路线问题

首先每个点一次，那么就是拆点+流量为1,要经过的点最多，就是最大费用流，来回路径都需要，可以看作起点跑两次，所以源点到1流量为2,汇点到终点流量为2。最大流输出路径就是不停判c即可。这个题要特判下1直达n的情况

软件补丁问题

因为只有20个点，所以可以开1<<20个状态，那么接下来就很简单了，因为总条件数只有100,所以将这些当作边，跑个最短路就行了，因为是这种转移方式，所以状压dp应该也可以。不过其实复杂度是错的，能过是因为难以无法构造达到复杂度上限的数据
如果非要跑网络流，那就是和最短路一样，不建边，跑得时候判断边，跑最小费用流

[CTSC1999]家园

很奇妙的题，这个题解决的是当边呈现周期性变化的时候应该怎么做。不过方法很无脑，就是将点开出每个时间的状态，时间之间流Inf

孤岛营救问题

n,m,p都只有10,意味着所有状态为$n\ast m\ast 2^p$=102400，所以直接bfs就行了。似乎有人写的是分层图最短路,因为分层后点数巨大，不能暴力建边，只能在原图建边，建边的意义是判断转移依据，这样就能让多个图一起使用了，但是因为边权一定是1,而且也是要跑满所有状态的，所以意义不大
这题和网络流有什么关系，大概是因为这个有一点分层图思想吧

汽车加油行驶问题

这个题就比上面那个题好多了，这里不能bfs了，必须要跑最短路，同样是个分层图最短路（我觉得所谓的分层，就是到达当前点有多种状态，而边则是所有状态下都建立的约束状态）

数字梯形问题

简单的费用流，第一问，因为什么都只能走一次，所以建的时候流量都是1,第二问，因为点可以走两次，那么拆点之间的流量为Inf,第三问，因为可以乱走，所以除了源点和第一层的流量是1,其余都是Inf即可

运输问题

费用流模板。。。

分配工作问题

和上面一模一样的费用流模板。。。

负载平衡问题

费用流，让每个数都减去平均数，然后正数连源点，负数连汇点，相邻的连边，然后跑一次就行了，这里能够发现，无向图跑费用流要建两次边，而最大流只需要正向反向都是z即可

深海机器人问题

这个题目问题在于，一条边只有第一次经过有价值，但是可以无限次经过怎么处理。处理方法是建立两次边，第一次流量为1,价值为c，第二次流量为Inf,价值为0

最长k可重区间集问题

一堆线段，一个点最多被选择k次，一个线段价值为长度，问最大价值
orz
建模：上面连接的第二种建图方法，离散所有数字，相邻数字连inf，然后有线段的连接，且费用为线段价值。说起来不直观，不如点上面链接看图。能发现，这样建模之所以正确是因为最大流量为k，那么一个点最多被经过k次，而网络流保证了最优，故答案最优

最长k可重线段集问题

和上题几乎沒区别

骑士共存问题

最大独立解裸题