洛谷 P1158 导弹拦截

这是一道关于导弹拦截的问题,需要计算两套导弹拦截系统在拦截所有来袭导弹时的最小使用代价,代价由系统工作半径的平方和决定。给定拦截系统和导弹的坐标,需要找到能拦截所有导弹的最小半径组合,输出最小使用代价。

题目描述

经过 11 年的韬光养晦,某国研发出了一种新的导弹拦截系统,凡是与它的距离不超过其工作半径的导弹都能够被它成功拦截。当工作半径为 0 时,则能够拦截与它位置恰好相同的导弹。但该导弹拦截系统也存在这样的缺陷:每套系统每天只能设定一次工作半径。而当天的使用代价,就是所有系统工作半径的平方和。

某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统尚处于试验阶段,所以只有两套系统投入工作。如果现在的要求是拦截所有的导弹,请计算这一天的最小使用代价。
输入输出格式
输入格式:

第一行包含 4 个整数x1、y1、x2、y2,每两个整数之间用一个空格隔开,表示这两套导弹拦截系统的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)。 第二行包含 1 个整数 N,表示有 N颗导弹。接下来 N行,每行两个整数 x、y,中间用 一个空格隔开,表示一颗导弹的坐标(x, y)。不同导弹的坐标可能相同。

输出格式:

输出文件名 missile.out。

输出只有一行,包含一个整数,即当天的最小使用代价。

输入输出样例
输入样例#1:

0 0 10 0
2
-3 3
10 0

输出样例#1:

18

输入样例#2:

0 0 6 0
5
-4 -2
-2 3
4 0
6 -2
9 1

输出样例#2:

30

说明

两个点(x1, y1)、(x2, y2)之间距离的平方是(x1− x2)2+(y1−y2)2。

两套系统工作半径 r1、r2的平方和,是指 r1、r2 分别取平方后再求和,即 r12+r22。

【样例 1 说明】

样例1 中要拦截所有导弹,在满足最小使用代价的前提下,两套系统工作半径的平方分

别为18 和0。

【样例2 说明】

样例中的导弹拦截系统和导弹所在的位置如下图所示。要拦截所有导弹,在满足最小使

用代价的前提下,两套系统工作半径的平方分别为20 和10。
这里写图片描述

【数据范围】

对于10%的数据,N = 1

对于20%的数据,1 ≤ N ≤ 2

对于40%的数据,1 ≤ N ≤ 100

对于70%的数据,1 ≤ N ≤ 1000

对于100%的数据,1 ≤ N ≤ 100000,且所有坐标分量的绝对值都不超过1000。


按导弹距1号导弹拦截系统排序,求出后缀距2号导弹拦截系统的距离最大值,枚举最小和。


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,ans=1e9+7,lst[N];
struct node
{
    int x,y;
}a[N],t1,t2;
int dis(node c,node d)
{
    return (c.x-d.x)*(c.x-d.x)+(c.y-d.y)*(c.y-d.y);
}
bool cmp(node c,node d)
{
    return dis(c,t1)<dis(d,t1);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&t1.x,&t1.y,&t2.x,&t2.y);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=n;i>=1;i--)
        lst[i]=max(dis(t2,a[i]),lst[i+1]);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        ans=min(ans,dis(a[i],t1)+lst[i+1]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
### 关于洛谷平台上的导弹拦截问题 #### Python 实现解题思路 对于导弹拦截问题,核心在于找到最长不增子序列(LIS)。这个问题可以通过动态规划来解决。具体来说: 1. **单套系统最大拦截数量** 为了求得一套系统能够拦截的最大导弹数目,可以采用二分查找优化的动态规划方法。 ```python def max_intercept(nums): dp = [] for num in nums: i = bisect.bisect_right(dp, num) if i != len(dp): dp[i] = num else: dp.append(num) return len(dp) from bisect import bisect_right heights = list(map(int, input().split())) print(max_intercept(heights)) # 输出单套系统的最大拦截数[^1] ``` 上述代码通过维护一个`dp`数组记录当前最优解,在遍历过程中不断更新这个列表直到结束。最终返回的结果即为所需答案。 2. **最小需要几套系统才能全部拦截** 当考虑如何用最少数量的不同系统完全覆盖所有来袭目标时,则需转换视角——实际上是要找出原序列可被划分为几个互不相交且各自内部满足条件的子集。这相当于求出最长上升子序列长度之后再取总数除以其倒数即可得到结果。 ```python def min_systems_needed(nums): tails = [] for num in reversed(nums): idx = bisect_left(tails, num) if idx == len(tails): tails.append(num) else: tails[idx] = num return len(tails) from bisect import bisect_left heights = list(map(int, input().split()))[::-1] print(min_systems_needed(heights)) # 输出所需的最小系统数量 ``` 这里先对原始数据进行了反转处理以便更好地适应算法逻辑;接着利用了另一个版本的二分查找函数来进行操作;最后输出的就是所求的答案。
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