洛谷 1006 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式：

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

这道题首先我们可以改变一下题意，即从一个起点出发向终点行走，使得两条路没有交点。那么求出一条值加和最大的路作为的dp的基础题肯定很容易，那么如何求两条路呢。其实，仍然可以使用求一条路的方法进行递推dp[x1][y1][x2][y2]表示第一条路与第二条路当前的坐标，根据求一条路最大值的方法很容易得到dp方程为：dp[i][j][k][o]=max(max(dp[i-1][j][k-1][o],dp[i-1][j][k][o-1]),max(dp[i][j-1][k-1][o],dp[i][j-1][k][o-1]))+a[i][j]+a[o][k];;特别的x1=x2,y1=y2 时，只需要加一个就好了。特殊情况可归类为下面两种情况，其他都可以根据这两种得到证明。

当两条路径有一个交点时，由于B点只计算了一次，我们必然会找到一条维持上面的路径1不变，而下面的路径2维持B左边与下面两点A，D不动，而走C的一条道路，此时有ABCD四点的和，而开始只有ABD三点，答案一定不会更差。

在两条线有两个交点时如图蓝线与红线，那么可看做棕色线与黄线，即可通过情况1证明，经过少算一次交点之后，这种情况一定不是最优，更多交点也可以此证明。

下附AC代码。

#include<iostream>
#define maxn 55
using namespace std;
int dp[maxn][maxn][maxn][maxn];
int a[maxn][maxn];
int m,n;
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        cin>>a[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    for(int k=1;k<=m;k++)
    for(int o=1;o<=n;o++)
    {
        dp[i][j][k][o]=max(max(dp[i-1][j][k-1][o],dp[i-1][j][k][o-1]),max(dp[i][j-1][k-1][o],dp[i][j-1][k][o-1]));
        dp[i][j][k][o]+=a[i][j];
        if(i!=k || j!=o)
        {
            dp[i][j][k][o]+=a[k][o];
        }
    }
    cout<<dp[m][n][m][n]<<endl;
}