《Python算法竞赛攻略：从入门到降维打击》——第四章

第四章：基础算法思想

欢迎来到“通用剑法篇”。如果说第一部分“基础心法篇”我们修炼的是内力，武装了Python这把神兵利器，那么从本章开始，我们将正式学习具体的“剑法招式”。这些招式——贪心、模拟、枚举、递推与分治——是算法世界中最普适、最基础的思想，也是构成更复杂算法的“基本功”。

掌握好这些基础算法思想，你将能够解决大部分普及组难度的题目，并为后续学习动态规划、图论等高阶算法打下坚实的基础。在本章，我们将彻底贯彻本书的核心理念：用最Pythonic的方式，去理解和实现这些经典算法思想。

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4.1 贪心 (Greedy)：局部最优解的智慧

贪心算法，顾名思义，就是“贪婪地”做出选择。在面临一个需要多步决策的问题时，它在每一步都选择当前看起来最好、最优的选项，寄希望于一系列的局部最优解能够最终导向全局最优解。

这是一种简单、高效的思想，但它并不总是正确的。使用贪心算法的诀窍在于判断“局部最优”是否真的能推出“全局最优”。这个证明过程在算法竞赛中我们往往会选择性地忽略，更多是依靠直觉、经验或者题目的暗示（例如，数据范围暗示了只能使用低复杂度的算法）。

核心思想：

1. 建立评价标准： 确定一个标准，用于衡量每一步决策的“好坏”（例如，价值最大、耗时最少、结束时间最早等）。
2. 循环决策： 在一个循环中，或通过排序，不断地根据评价标准做出当前最优的选择。
3. 组合解： 将每一步的局部最优选择组合起来，形成问题的最终解。

【实战场景1：活动安排问题】

这是一个经典的贪心算法应用场景。

• 问题描述： 假设有n个活动，每个活动都有一个开始时间 $s_i$ 和一个结束时间 $f_i$。你只有一个会议室，问最多可以安排多少个活动，使得这些活动的时间不冲突。

• 思路分析： 如何选择才是“贪心”的？

  • 选择开始最早的？ 反例：一个开始很早但持续时间很长的活动，可能会“锁死”会议室，导致错过多个持续时间短的活动。
  • 选择持续时间最短的？ 反例：一个持续时间很短但恰好在两个长时间活动之间的活动，选择它可能会导致错过那两个活动。
  • 正确的贪心策略：选择结束时间最早的活动。 为什么？因为选择结束时间最早的活动，可以尽快地释放会议室资源，为后续安排更多的活动提供可能性。这确保了局部最优（尽快结束）能够导向全局最优（安排活动最多）。

• Pythonic实现：
  在Python中，这个策略的实现极其优雅。我们只需要将所有活动存入一个列表，然后根据每个活动的结束时间进行排序即可。

  def schedule_activities(activities):
      """
      解决活动安排问题
      :param activities: 一个列表，每个元素是形如 (start_time, end_time) 的元组
      :return: 最多可以安排的活动数量
      """
      if not activities:
          return 0
  
      # 核心：按活动的结束时间升序排序
      # a[1] 代表元组的第二个元素，即结束时间
      activities.sort(key=lambda a: a[1])
  
      count = 1  # 第一个活动（结束时间最早的）必定入选
      last_end_time = activities[0][1]
  
      # 遍历剩余的活动
      for i in range(1, len(activities)):
          current_start_time = activities[i][0]
          # 如果当前活动的开始时间晚于或等于上一个已安排活动的结束时间
          # 说明不冲突，可以安排
          if current_start_time >= last_end_time:
              count += 1
              last_end_time = activities[i][1]
  
      return count
  
  # --- 示例 ---
  # 活动列表：[(开始时间, 结束时间), ...]
  acts = [(1, 4), (3, 5), (0, 6