《Python算法竞赛攻略：从入门到降维打击》—

第九章：图论算法

目标： 攻克图论这一特定领域，形成解题知识体系。

图论是算法竞赛的重镇，也是许多名校机试的压轴题来源。它研究的是由节点（顶点）和连接节点的边构成的“图”结构，能够对现实世界中纷繁复杂的关系进行建模，如社交网络、交通路网、任务依赖关系等。

许多同学一提到图论，就想到C++中复杂的邻接表（链式前向星）、指针满天飞的实现，望而生畏。但在Python的世界里，这一切都将变得无比自然和简洁。本章将带你领略，如何用Pythonic的思维和工具，优雅地解决图论问题，将C++选手还在吭哧吭哧写模板的时间，化为我们思考解题策略的优势。

9.1 图的Pythonic表示：邻接表(字典/列表)与邻接矩阵

在图论中，选择合适的存储方式是解题的第一步，这直接影响到后续算法的效率和实现难度。

1. 邻接矩阵 (Adjacency Matrix)

邻接矩阵使用一个二维数组 graph[u][v] 来存储图中顶点 u 和 v 之间的关系。如果 u 和 v 之间有边，则 graph[u][v] 的值为边的权重（对于无权图，通常记为1），否则为0或一个特殊值（如无穷大）。

优点： 实现简单，判断两点间是否有边非常快，时间复杂度为 $O (1)$ 。
缺点： 空间复杂度高达 $O(V^2)$ ，其中 V 是顶点数量。当图中顶点很多但边很稀疏时（即“稀疏图”），会造成巨大的空间浪费。在分秒必争的竞赛中，这可能直接导致内存超限（MLE）。

Python实现：

Python

# 适用于顶点数V较小（如V <= 500）的稠密图
V = 5 # 顶点数
# 初始化一个V x V的矩阵，用inf表示点之间不直接相连
inf = float('inf')
adj_matrix = [[inf] * V for _ in range(V)]

# 添加边，例如从顶点0到顶点1，权重为10（无向图）
u, v, weight = 0, 1, 10
adj_matrix[u][v] = weight
adj_matrix[v][u] = weight # 如果是无向图，对称位置也要赋值

# 判断边是否存在
if adj_matrix[0][1] != inf:
    print("边 (0, 1) 存在，权重为:", adj_matrix[0][1])

竞赛建议： 仅在顶点数量非常小，且边非常密集（接近完全图）的场景下使用，最典型的应用是Floyd算法。

2. 邻接表 (Adjacency List)

邻接表是图论算法中最常用的存储方式。它只存储实际存在的边，因此空间效率远超邻接矩阵。对于每个顶点，我们用一个列表（或其它容器）来存储所有从它出发的边所指向的顶点。

Pythonic实现方式：

在Python中，我们有比C++的 vector<vector<int>> 更优雅的选择：字典（dict）或 defaultdict。

defaultdict(list)： 这是表示稀疏图的最优方式。它天生可以处理不连续的、任意标识的顶点（如字符串名字），并且在添加边时无需预先检查顶点是否存在于字典中。

Python

import collections

# 假设有E条边，V个顶点
# 顶点编号可以是0, 1, 2... 也可以是 "北京", "上海"...
graph = collections.defaultdict(list)

# 添加边 (u, v, weight)
# 场景：有向有权图
edges = [(0, 1, 10), (0, 2, 5), (1, 2, 2), (2, 3, 8)]
for u, v, w in edges:
    graph[u].append((v, w)) # 存储 (邻接点, 权重)

# 场景：无向无权图
edges_unweighted = [('A', 'B'), ('A', 'C'), ('B', 'C')]
graph_unweighted = collections.defaultdict(list)
for u, v in edges_unweighted:
    graph_unweighted[u].append(v)
    graph_unweighted[v].append(u) # 无向图需要添加反向边

# 遍历顶点A的所有邻居
# print(graph_unweighted['A']) # 输出: ['B', 'C']

列表嵌套列表 (list of list)：如果顶点编号是从 0 到 V-1 的连续整数，这种方式也是可行的，它在性能上与 defaultdict 相当。

Python

V = 4 # 顶点数必须已知且连续
graph_list = [[] for _ in range(V)]

edges = [(0, 1, 10), (0, 2, 5), (1, 2, 2), (2, 3, 8)]
for u, v, w in edges:
    graph_list[u].append((v, w))

对比与总结：