数据结构——7.递归

第一部分：核心概念与理论（笔试重点）

这部分是理解递归的基础，主要应对笔试中的概念题和简答题。

1. 什么是递归？

递归是一种解决问题的强大思想，它的核心是“自己调用自己”。

• 官方定义：如果一个对象部分地包含自身，或利用自身来定义自身，则称这个对象是递归的。如果一个过程（或函数）直接或间接地调用自身，则称这个过程是递归过程。
• 故事理解：就像课件里讲的那个故事：“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，故事是‘从前有座山…’” 这个故事的结构就是递归的。
• 数学理解：自然数的定义也是递归的。
  • 1 是自然数。
  • 如果 $n$ 是自然数，那么 $n+1$ 也是自然数。

2. 递归的两个基本要素

任何一个有效的递归算法，都必须包含两个部分，缺一不可：

1. 递归描述（Recursive Step）：将原始问题分解为一个或多个规模更小、但结构相同的子问题。这是“递”的过程。例如，想求 n!，可以先去求 (n-1)!。
2. 递归出口（Base Case / Termination Condition）：一个或多个可以直接求解的最小问题。当问题规模缩小到这个程度时，不再进行递归调用，而是直接返回结果。这是“归”的起点，也是防止无限循环的关键。例如，0! 的值是 1，这就是出口。

简答题考点：若缺少递归出口，会导致函数无限调用自身，直到程序运行栈的内存被耗尽，引发“栈溢出”（Stack Overflow）错误。

3. 递归是如何工作的？—— 函数调用栈

计算机通过一种叫做“栈（Stack）”的数据结构来实现递归。每当一个函数被调用时，系统会做以下事情（进层/递推）：

1. 保存现场：将当前函数的参数、局部变量、返回地址等信息压入栈中，形成一个“活动记录”（或称“栈帧”）。
2. 参数传递：为被调用的新函数（即递归的下一层）分配空间，并传递参数。
3. 跳转执行：程序控制权转移到被调用函数的入口。

当递归到达出口，函数执行完毕准备返回时，系统会（退层/回归）：

1. 保存结果：保存本次计算的返回值。
2. 恢复现场：从栈顶弹出当前的活动记录，释放空间，并恢复上一层函数的参数和局部变量。
3. 跳转返回：依照之前保存的返回地址，将程序控制权和返回值交还给上一层调用者。

这个先“递推”再“回归”的过程，完美地体现了递归“先深入、再返回”的执行特性。

4. 递归与迭代（循环）的对比

特性	递归 (Recursion)	迭代 (Iteration / Loop)
代码	通常更简洁、易于理解，更贴近问题的数学定义。	代码通常更长，但逻辑可能更直接。
性能	函数调用和返回有额外开销（压栈、弹栈），速度较慢，占用内存较多。	没有函数调用开销，速度快，内存占用恒定。
风险	递归层次太深可能导致栈溢出。	比较安全，不会有栈溢出的问题。
转换	所有递归都可以用迭代（通常借助栈）实现，但转换可能很复杂。	迭代转换为递归通常比较容易。

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第二部分：经典问题与算法（笔试 & 机试重点）

这部分是考试的重中之重，要求不仅能理解，还要能徒手写出代码。

1. 阶乘 (Factorial)

• 问题描述：计算非负整数 $n$ 的阶乘 $n=n\times (n-1)\times \cdots \times 1$。

• 递归逻辑：

  • 递归描述：$n=n\times (n-1)$ （对于 $n0$）。
  • 递归出口：$0=1$。

• 代码实现：

  C++

  long long factorial(int n) {
       
       
      // 递归出口 (Base Case)
      if (n == 0) {
       
       
          return 1;
      }
      // 递归描述 (Recursive Step)
      else {
       
       
          return n * factorial(n - 1);
      }
  }
  

  Python

  def factorial(n):
      # 递归出口 (Base Case)
      if n == 0:
          return 1
      # 递归描述 (Recursive Step)
      else:
          return n * factorial(n - 1)