数据结构——8.树的概念和二叉树

第一部分：树的基本概念与术语

这部分是基础，笔试中经常以选择题、填空题或简答题的形式考察。

1. 什么是树？

• 定义：树 (Tree) 是由 n ($n\ge 1$) 个有限节点组成的集合T。它有一个特殊的节点，称为根 (Root)。其余节点可分为 m ($m\ge 0$) 个互不相交的有限集合 $T_1,T_2,...,T_m$，其中每一个集合本身又是一棵树，并被称为根的子树 (Subtree)。
• 核心特征：
  • 树是一种非线性数据结构，能很好地描述具有层次或分支关系的对象（例如，家族的族谱、公司的组织架构、操作系统的文件系统）。
  • 树中至少有一个节点（根节点）。
  • 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
  • 一棵n个节点的树有 n-1 条边。
• 有序树与无序树：如果我们将树中每个节点的子树看作是有顺序的，不能随意交换位置，则称该树为有序树。反之，则为无序树。在计算机中，我们通常处理的都是有序树。

2. 树的相关术语

这些术语是后续学习的基础，必须牢记。

• 节点关系：

  • 父节点 (Parent)：一个节点的上级节点。
  • 子节点 (Child)：一个节点的下级节点。
  • 兄弟节点 (Sibling)：拥有同一个父节点的节点。
  • 祖先 (Ancestor)：从根到某节点路径上的所有节点都是该节点的祖先。
  • 后裔 (Descendant)：某节点的所有子树中的节点都是该节点的后裔。

• 节点属性：

  • 节点的度 (Degree)：一个节点拥有的子树个数（即其子节点的数量）。
  • 叶节点 (Leaf) 或 终端节点：度为 0 的节点。
  • 分支节点 或 非终端节点：度不为 0 的节点。

• 树的属性：

  • 树的度：树中所有节点度的最大值。
  • 节点的层次 (Level)：从根开始定义，根为第 0 层，根的子节点为第 1 层，以此类推。
  • 节点的深度 (Depth)：从根到该节点的路径长度（经过的边数）。根节点的深度为 0。
  • 节点的高度 (Height)：从该节点到其最远叶节点的最长路径长度。叶节点的高度为 0。
  • 树的高度/深度：通常指树中所有节点高度/深度的最大值，即根节点的高度或最深叶节点的深度。

3. 森林 (Forest)

• 定义：森林是 m ($m\ge 0$) 棵互不相交的树的集合。
• 与树的关系：去掉一棵树的根，就得到了一个森林；反之，给一个森林添加一个统一的根节点，就形成了一棵树。

---

第二部分：二叉树 (Binary Tree)

二叉树是本章的重中之重，是机试考试的绝对主角。

1. 什么是二叉树？

• 定义：二叉树是一个有限的节点集合，这个集合或者为空集，或者由一个根节点及两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树 (Left Subtree) 和右子树 (Right Subtree) 的二叉树组成。

• 树与二叉树的核心区别：

  1. 度的限制：二叉树的每个节点最多有 2 个子节点，而普通树没有此限制。
  2. 有序性：二叉树是有序的，其子树严格区分为“左子树”和“右子树”，次序不能颠倒。即使某个节点只有一棵子树，也必须指明是左子树还是右子树。
  3. 空集：二叉树可以是空的，而根据定义，树至少有一个根节点。

2. 二叉树的重要性质 (笔试高频考点)

这些引理是进行复杂度分析和解题的利器。

• 引理 4.1: 在二叉树的第 $i$ 层上（$i\ge 0$），至多有 $2^i$ 个节点。
• 引理 4.2: 高度为 $k$ 的二叉树（$k\ge 0$），至多有