数据结构——6.跳舞链和静态链表

第一部分：基础概念回顾

在学习跳舞链之前，必须先掌握双向链表和循环链表的概念。

1. 循环链表 (Circular Linked List)

• 定义：它是一种特殊的单链表，其最后一个结点的 next 指针不再指向 NULL，而是指向链表的第一个结点（或头结点/哨兵结点），形成一个环。
• 特点：从链表中的任意一个结点出发，都可以遍历到整个链表的所有结点。
• 判断空表：对于带头结点 head 的循环链表，当 head->next == head 时，链表为空。
• 应用：约瑟夫问题 (Josephus Problem) 是其经典应用场景。

2. 双向链表 (Doubly Linked List)

• 定义：每个结点除了有数据域 data 和指向后继结点的 next（或 right）指针外，还有一个指向前驱结点的 prev（或 left）指针。
• 特点：可以双向遍历，从一个结点可以很方便地找到它的前驱和后继，使得插入和删除操作更加灵活。
• 结构：通常有一个头指针 head 指向第一个结点，尾结点的 right 指针为 NULL；头结点的 left 指针也为 NULL。

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第二部分：核心知识点一：跳舞链 (Dancing Links)

“跳舞链”这个名字听起来很酷，但其本质并不复杂。PPT中提到的“跳舞链”实际上是 带哨兵结点的双向循环链表。

1. 结构定义

• 它是一个双向的、循环的链表。
• 它包含一个特殊的“哨兵”结点（通常称为 head 或 0 号结点），这个结点不存储实际数据，只用于辅助操作，使代码更简洁。
• 表头：第一个有数据的元素是 head->right。
• 表尾：最后一个有数据的元素是 head->left。
• 空表示：当 head->right == head 或 head->left == head 时，链表为空。

这种结构的最大优势在于 插入和删除操作极其高效且代码统一。因为链表是循环的，且有哨兵结点，所以不需要为“在表头/表尾插入/删除”或“在空表插入”等情况写额外的判断逻辑。所有位置的插入和删除操作都可以用同样的代码完成。

2. 核心操作：删除与插入

这是跳舞链的精髓，笔试和机试都极有可能考到。

删除结点 x：
想象一下 x 结点和它的左邻居 L、右邻居 R。要删除 x，就是让 L 和 R “手拉手”，直接跳过 x。

• x 的左邻居 L 的 right 指针，原本指向 x，现在应该指向 x 的右邻居 R。
  • 代码：x->left->right = x->right;
• x 的右邻居 R 的 left 指针，原本指向 x，现在应该指向 x 的左邻居 L。
  • 代码：x->right->left = x->left;

恢复（插入）结点 x：
删除是“跳过”，恢复就是让 L 和 R 松开手，重新和 x 连接。

• x 的左邻居 L 的 right 指针，重新指向 x。
  • 代码：x->left->right = x;
• x 的右邻居 R 的 left 指针，重新指向 x。
  • 代码：x->right->left = x;

这两个操作的时间复杂度都是 $O(1)$，非常高效。

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第三部分：核心知识点二：静态链表 (Static Linked List)

1. 为什么需要静态链表？

• 语言限制：在一些早期的编程语言（如 FORTRAN, BASIC）中，没有指针数据类型，无法使用 new 或 malloc 动态分配内存。
• 性能考量：在现代C++等语言中，如果需要频繁地创建和销毁结点，malloc/free 或 new/delete 的系统调用开销可能较大。静态链表预先分配一大块连续内存，所有操作都在这块内存中进行，速度更快。

2. 实现原理

其核心思想是 用数组来模拟链表。我们不使用内存地址指针，而是使用数组下标（Index） 来“指向”下一个元素。

• 一个大数组（或几个平行数组）作为内存池。
• 每个结点包含两个关键部分：data（数据域）和 next（游标/指针域）。next 存储的是下一个结点在数组中的下标。
• 通常用数组的 0 号元素作为哨兵结点。

3. 两种实现方式

方式一：结构体数组 (Struct Array)

// C++
#include <iostream>
#define MAXN 1000

struct Node {
   
   
    int data;
    int next;
};

Node link[MAXN];
int tot = 0; // 当前已分配的结点计数器

// 初始化哨兵结点
void init() {
   
   
    link[0].next = 0; // 0的next指向0，表示链表为空
}

// 头插法
void insert_head(int val) {
   
   
    tot++;
    link[tot].data = val;
    link[tot].next = link[0].next;
    link[0].next = tot;
}

// 遍历
void print_list() {
   
   
    for