【电路笔记 PCB】桥式测量电路:惠斯通电桥+文氏电桥+麦克斯韦电桥（测量未知电阻、电容、电感的值）

Wheatstone Bridge

• 惠斯通电桥（Wheatstone Bridge）是一种测量未知电阻或比较两个电阻大小的电路，由四个电阻组成，通常用于精确测量电阻、传感器信号处理以及电路校准，力传感器示例。

基本结构

• 电桥的连接形式是一个四边形，两对电阻分别串联，形成两个分压电路。检测器连接在两条对角线之间。

电阻测量公式推导

• 当桥路平衡时，检测器两端的电压差为 0，此时满足以下关系：

$$\frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_x}$$

• 假设电源电压为 $V$，电桥中点的电位为：

  • A 点电位： $$V_A=V\cdot \frac{R_1}{R_1+R_3}$$
  • B 点电位： $$V_B=V\cdot \frac{R_2}{R_2+R_4}$$

• 检测器两端的电压为：
  $$V_{\text{AB}}=V_A-V_B$$

• 当 $V_{\text{AB}}=0$ 时：
  $$\frac{R_1}{R_1+R_3}=\frac{R_2}{R_2+R_4}$$

  $$\Rightarrow \frac{R_1}{R_3}=\frac{R_2}{R_4}$$

Wien’s bridge

• Wien’s Bridge 是一种用于测量频率的电子电路，同时也用于产生正弦波信号（振荡器的应用）。它以 Max Wien 的名字命名，由他在 1891 年发明。该电桥具可用于测量电容容值、测量未知频率、作为正弦波振荡器生成稳定的波形。

基本结构

电容测量公式推导

$$\begin{gathered} Z_1=\frac{R_1}{1+j\omega C_1{R}_1} \\ {Z}_2=R_2-\frac{1}{j\omega C_2} \\ {Z}_3=R_3 \\ {Z}_4=R_4 \end{gathered}$$

• 平衡时：
  $$\frac{Z_1}{Z_3}=\frac{Z_2}{Z_4}$$
  $$(\frac{R_1}{1+j\omega C_1{R}_1})\times R_4=(R_2-\frac{1}{j\omega C_2})\times R_3$$
  $$\frac{R_4}{R_3}=\frac{1+j\omega C_2{R}_2}{j\omega C_2}\frac{1+j\omega C_1{R}_1}{R_1}$$
  $$\frac{R_4}{R_3}=\frac{1}{j\omega C_2{R}_1}+\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_2}{R_1}+j\omega C_2{R}_2$$
• 比较实部可得：

$$\frac{R_4}{R_3}=\frac{C_1}{C_2}+\frac{R_1}{R_2}$$

Maxwell Wien Bridge

• Maxwell-Wien Bridge 是一种经典的电桥电路，用于测量电感的值，特别是当电感的品质因数（Q值）较低时。

基本结构

$$\begin{gathered} Z_1=\frac{R_1}{1+j\omega R_1{C}_1} \\ {Z}_2=R_2 \\ {Z}_3=R_3 \\ {Z}_4=R_4+j\omega L_4 \end{gathered}$$

• 平衡时：

$$\begin{gathered} Z_4=\frac{Z_2{Z}_3}{Z_1} \\ {R}_4+j\omega L_4=\frac{R_2{R}_3}{\left(\frac{R_1}{1+j\omega R_1{C}_1}\right)} \\ \Rightarrow R_4+j\omega L_4=\frac{R_2{R}_3}{R_1}+j\omega C_1{R}_2{R}_3 \end{gathered}$$

• 比较虚部可得：
  $$L_4=C_1{R}_2{R}_3$$

CG

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