概率论：高斯随机向量的分布函数_矢量高斯分布函数-优快云博客

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本文探讨了两个独立和相关的高斯随机变量的分布函数。对于独立变量，其联合概率密度函数由两者的标准正态分布通过乘积和指数函数表达。当变量相关时，协方差矩阵和相关系数进入公式，导致分布的改变。这种分析在统计和信号处理等领域中至关重要。

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高斯随机向量的分布函数

$x1∼N(μ1,σ12),x2∼N(μ2,σ22),x1,x2独立x_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),x_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),x_1,x_2 \color{red} 独立$
$p(x1,x2)=12πσ12σ22exp(−12((x1−μ1)2σ12+(x2−μ2)2σ22))p(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma_1^2\sigma_2^2}}exp(-\frac{1}{2}{(\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2})})$

$令x=[x1x2],μ=[μ1μ2],∑=[σ1200σ22]令x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix},\mu=\begin{bmatrix}\mu_1\\\mu_2\end{bmatrix},\sum =\begin{bmatrix}\sigma_1^2&0\\0&\sigma_2^2\end{bmatrix}$

$p(x1,x2)=12π∣∑∣exp(−12(x−μ)T∑−1(x−μ))p(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi \sqrt{|\sum|}}exp(-\frac{1}{2}{(x-\mu)^T\sum^{-1}(x-\mu)})$

$x1∼N(μ1,σ12),x2∼N(μ2,σ22),x1,x2相关x_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),x_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),x_1,x_2 \color{red} 相关$
$p(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2exp(−12(1−ρ2)((x1−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(x−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22))p(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}{(\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\frac{\rho(x-\mu_1)(x-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2})})$

$令x=[x1x2],μ=[μ1μ2],C=[σ12cov(x1,x2)cov(x2,x1)σ22]令x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix},\mu=\begin{bmatrix}\mu_1\\\mu_2\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}\sigma_1^2&cov(x_1,x_2 )\\cov(x_2,x_1 )&\sigma_2^2\end{bmatrix}$

$p(x1,x2)=12π∣C∣exp(−12(x−μ)TC−1(x−μ))p(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi \sqrt{|C|}}exp(-\frac{1}{2}{(x-\mu)^TC^{-1}(x-\mu)})$
$C为协方差矩阵，ρ为相关系数C为协方差矩阵，\rho 为相关系数$