二元关系的性质与二元关系:等价,相容,偏序

本文探讨了相容关系及偏序关系的基本概念,包括它们的关系图与矩阵特点、相容类定义、以及在偏序关系中的极大元、最大元、上界与上确界的概念。

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等价

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相容

相容关系的关系图的特点

每个节点都有环(自反性决定的)
不同节点之间如果有边一定成对出现(对称性决定)

由以上特点可对关系图简化

不画环(自反性决定的)
两个有向边用一个无向边取代(对称性决定)

相容关系的关系矩阵的特点

主对角线都是1(自反性决定的)
沿着主对角线对称的元素相等(对称性决定)

由以上特点可对关系矩阵简化

下三角矩阵

相容类

相容类:根据相容关系分类,如果两个元素满足相容关系,则分为一类
下图中的相容类有:
{a,b},{a,b,c},{a,c,d},{a,b,c,d},{d,e},{b,c,f},{g}等 \{a,b\},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{a,b,c,d\},\{d,e\},\{b,c,f\},\{g\}等 {a,b},{a,b,c},{a,c,d},{a,b,c,d},{d,e},{b,c,f},{g}
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每个完全多边形构成一个相容类:
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最大相容类(不被其他相容类所真包含的类):最大相容类就是找图中的最大完全多边形:{a,b,c,d},{b,c,f},{d,e},{g}r是X中的相容关系,完全覆盖Cr(X):由所有最大相容类为元素构成的集合 最大相容类(不被其他相容类所真包含的类):\\ 最大相容类就是找图中的最大完全多边形:\{a,b,c,d\},\{b,c,f\},\{d,e\},\{g\}\\ r是X中的相容关系,完全覆盖Cr(X):\\由所有最大相容类为元素构成的集合 )::{a,b,c,d},{b,c,f},{d,e},{g}rX,Cr(X)

偏序≼(半序)

偏序关系的关系图的特点

每个节点都有环(自反性决定的)
不同节点之间如果有边,一定成对出现只出现一条 (反对称性决定)

由以上特点可对关系图简化

不画环(自反性决定的)
第一元素在左,第二元素在右,第一元素在下,第二元素在上以表示方向(反对称性决定)
有<a,b>,<b,c>则<a,c>,但在图中省略<a,c>(传递性)

极大(小)元

设(P,≼)是半序集,A⊆P,若a∈A,且在A中不存在b(b≠a),a≼b,则称a为A中的极大元设(P,≼)是半序集,A \subseteq P,若a\in A,且在A中不存在b(b\neq a),a≼b,则称a为A中的极大元P,AP,aA,Ab(b=a),ab,aA

最大(小)元

设(P,≼)是半序集,A⊆P,若a∈A,∀b∈A,b≼a,则称a为A中的最大元设(P,≼)是半序集,A \subseteq P,若a\in A, \forall b\in A,b≼a,则称a为A中的最大元P,AP,aA,bA,ba,aA
最大元也是在子集A中寻找,而非全集P中寻找,只要有唯一的极大极小元,则其为最大最小元,否则不存在\tiny 最大元也是在子集A中寻找,而非全集P中寻找,只要有唯一的极大极小元,则其为最大最小元,否则不存在AP

上(下)界

设(P,≼)是半序集,A⊆P,若a∈P,∀b∈A,b≼a,则称a为A中的上界设(P,≼)是半序集,A \subseteq P,若a\in P, \forall b\in A,b≼a,则称a为A中的上界P,AP,aP,bA,ba,aA
上界是在全集P中寻找\tiny 上界是在全集P中寻找P

上(下)确界

设(P,≼)是半序集,A⊆P,a是A的一个上界,任意A的上界b都有a≼b,称a为A中的上确界设(P,≼)是半序集,A \subseteq P,a是A的一个上界, 任意A的上界b都有a≼b,称a为A中的上确界P,AP,aAAbab,aA

全序关系(线序,链):集合上有半序关系R,如果任何两个元素都R关系

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