二元关系与对应的拓扑

1. 前言

我们介绍一些重要的二元关系，包括“等价”、“偏序”、“全序”、“良序”，以及各自对应的一些拓扑性质。

定义1(二元关系). 设$X$是一个集合，$\mathcal{R}$是$X\times X$的子集，则称$\mathcal{R}$是$X$的一个二元关系。$\mathcal{R}$中的元素$(a,b)$通常被记为$a\mathcal{R}b$。

在二元关系$(X,\mathcal{R})$里通常有四个可以额外添加的性质：

• 自反性。即对任何$x\in X$，有$(x,x)\in \mathcal{R}$，或写成$x\mathcal{R}x$。换句话说，对角（diagnol） Δ X = { ( a , a ) : a ∈ X } ⊂ R \Delta_X=\{(a,a):a\in X\}\subset \mathcal{R} ΔX​={ (a,a):a∈X}⊂R。
• 传递性。即如果$x\mathcal{R}y$且$y\mathcal{R}z$，则$x\mathcal{R}z$。
• 对称性。即如果$x\mathcal{R}y$，则$y\mathcal{R}x$。
• 反对称性。即如果$x\mathcal{R}y$且$y\mathcal{R}x$，则$x=y$。

2. 等价关系和商拓扑

等价关系是我们最熟悉的关系，也是最重要的关系之一。等价关系可以帮助我们更好的“分辨”性质。我们将说明的是：“等价关系”和“满射”没有任何区别，且利用“等价关系”/“满射”我们可以诱导出商拓扑。

定义2(等价关系). 设$X$是集合，$\mathcal{R}$是$X$上的关系，如果$\mathcal{R}$满足自反性，传递性，对称性，则称$\mathcal{R}$是等价关系，通常记为$\sim$。

通过等价关系，我们可以构造一个新的集合
{ [ x ] ∈ 2 X : [ x ] 是 所 有 和 x 等 价 的 元 素 构 成 的 子 集 } \{[x]\in 2^X:[x]是所有和x等价的元素构成的子集\} { [x]∈2X:[x]是所有和x等价的元素构成的子集}
即 [ x ] = { y ∈ X : y ∼ x } [x]=\{y\in X:y\sim x\} [x]={ y∈X:y∼x}，$[x]$被称为以$x$为代表元的等价类。上述集合称为$(X,\sim )$的等价类集合，记为$X/\sim$。

命题1. 设$X$是集合，则

• 如果$X$上有等价关系$\sim$，则映射$f:X\to X/\sim$是满射。
• 设映射$f:X\to Y$是满射，则$X$上可以定义一个关系$\mathcal{R}$，$(x,y)\in \mathcal{R}$，当且仅当$f(x)=f(y)$。验证：$\mathcal{R}$是等价关系。
• 设映射$f:X\to Y$是满射，则我们有第二点构造的等价关系$\sim$，验证
  $$\tilde{f}:X/\sim \to Y,[x]\mapsto f(x)$$
  是良好定义的双射。

根据命题1，我们以后不再区分满射和等价关系，所有在满射上成立的命题，在等价关系上同样成立。现在我们把拓扑结构加上，会得到一些类似的结果。

定义3(商拓扑). 设$X$是拓扑空间，$Y$是集合。如果存在映射$f:X\to Y$使得$f$是满射，则在$Y$上如下定义拓扑：$V\subset Y$是开集，当且仅当
$$f^{-1}(V)在X中是开集.$$
如上定义的$Y$上的拓扑称为（关于拓扑空间$X$和映射$f$的）商拓扑，$Y$被称为商（拓扑）空间，$f$被称为商映射。

下面命题说明商拓扑是使得商映射连续的最大拓扑。

命题2. 验证如下命题：设$(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{S})$是拓扑空间，$f:X\to Y$是满射，则

• 设$(Y,\mathcal{R})$是关于$(X,\mathcal{T})$和$f$的商拓扑，则$f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{R})$是连续映射。
• 设$f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{S})$是连续映射，则$\mathcal{S}\subset \mathcal{R}$。

定义4(开映射和闭映射). 设$X,Y$是拓扑空间，$f:X\to Y$是映射，称$f$是开映射，如果$f$将$X$中开集映为$Y$中开集，即对任何开集$V\subset X$，有
f ( V ) 是 Y 中