正规子群

最新推荐文章于 2023-06-02 10:28:52 发布
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这篇博客探讨了群论中的正规子群概念，它是指对于群G的任意元素g，其与子群H的乘积再取逆仍然属于H的子群。由于这个性质，所有阿贝尔群的子群都是正规的。正规子群在商群和直和等群论构造中扮演关键角色，确保这些构造保持群的交换性。

H是G的子群，如果对所有g∈G,都有gHg−1=H则称H是G的正规子群H是G的子群，如果对所有g\in G,都有gHg^{-1}=H\\ 则称H是G的正规子群H是G的子群，如果对所有g∈G,都有gHg−1=H则称H是G的正规子群

正规子群，或者说正规性体现了群的交换性,阿贝尔群的任何子群都是正规子群
(所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。)
信息安全数学基础（34）正规子群和商群
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子群与正规子群的关系
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论述子群与正规子群的关系！
正规子群概念
斯坦福-MIT-Harvard-CMU
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对于任何在S_n中的元素σ和在A_n中的元素τ，我们有στσ^-1属于A_n，所以A_n是正规的。在直观上，这个条件意味着，如果我们首先选择 N 中的一个元素，然后用 G 中的一个元素 “变换” 它，然后再用那个元素的逆元 “逆变换” 它，我们仍然会得到 N 中的一个元素。我们可以看到，如果我们选择一个偶数（在子群中），然后加上任何整数（在整个群中），然后再减去那个整数，我们仍然得到一个偶数。在数学中，特别是在群论中，一个群的正规子群（或不变子群）是一个特殊类型的子群，它在群的所有元素下都保持"不变"。
近世代数 笔记与题型连载 第十一章（正规子群与商群）
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H为群 G的子群,如果存在 G的正规子群 K使得 G=HK并且 H∩K在 G中是 S-拟正规嵌入的,我们 称 H在 G中是 c*-正规的。我们利用群 G的 Sylow子群的2-极大子群的 c*-正规性来刻划群的结构,一些已知 的结果得到推广。
关于基本群的正规子群的指数
02-04
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群论基础速成（2）：子群，陪集，正规子群，商群
chenxy_bwave的专栏
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业余爱好小白的群论自学笔记。没有目的，为了学习而学习。用自己能够理解的方式沿着自己的思路进行整理记述（东施效颦小平邦彦的抄书学数学），不求严谨完备，但求逻辑连贯。 上一篇（群论基础速成（1））介绍了群的定义、同态和同构、有限群、循环群以及两种群的可视化技术。 对群的深入分析意味着要分析它们具有什么样的组织结构，彼此之间有什么联系，如何通过较小的群来构建较大的群，如何剖析较大的群从而揭露蕴含其中的较小的群。本篇将朝向这个目标讨论子群、陪集、正规...
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zorchp
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正规子群和商群
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设$H<G$,全体左陪集构成的集合$\overline{G}=\{gH:g\in G\}$,我们希望赋予$\overline{G}$群的结构,很自然的定义乘法为$$aH\cdot bH=abH$$容易验证此运算下有幺元$H$,以及任意的$aH\in\overline{G}$有逆元$a^{-1}H$.但是最主要的问题是:左陪集的代表元选取并不唯一,那么次乘法的定义是否是无矛盾的?换言...
群与作用3.1-Sylow子群的例子
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子群，真子群，正规子群，真正规子群怎么打符号？ $H\leqslant G$ $H \triangleleft G$ $H \lhd G$ H⩽GH\leqslant GH⩽G H◃GH \triangleleft GH◃G H⊲GH \lhd GH⊲G $$ 我草，果然是lhd大一点
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正规子群链
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### 正规子群链的定义 设 \(G\) 是一个群，若存在群 \(G\) 的一系列子群 \(G_0, G_1, \cdots, G_n\)，满足 \(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{e\}\)，其中符号 \(\triangleright\) 表示“正规包含”，即对于 \(i = 0,1,\cdots,n - 1\)，\(G_{i + 1}\) 是 \(G_i\) 的正规子群，则称序列 \(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{e\}\) 为群 \(G\) 的一个正规子群链。 ### 正规子群链的性质 - **商群性质**：对于正规子群链 \(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{e\}\)，可以得到一系列商群 \(G_0/G_1, G_1/G_2, \cdots, G_{n - 1}/G_n\)。这些商群的性质在研究群 \(G\) 的结构中起着重要作用。例如，若所有的商群 \(G_i/G_{i + 1}\) 都是阿贝尔群，则称群 \(G\) 是可解群。 - **传递性**：正规子群的包含关系具有传递性。若 \(H\triangleleft K\) 且 \(K\triangleleft G\)，虽然一般情况下 \(H\) 不一定是 \(G\) 的正规子群，但在正规子群链中，每一步的正规包含关系是明确的。 ### 相关证明示例 #### 可解群判定证明 证明：若群 \(G\) 有一个正规子群链 \(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{e\}\)，且商群 \(G_i/G_{i + 1}\) 都是阿贝尔群，则 \(G\) 是可解群。 设 \(x,y\in G_i\)，考虑它们在商群 \(G_i/G_{i + 1}\) 中的像 \(\overline{x}=xG_{i + 1}\) 和 \(\overline{y}=yG_{i + 1}\)。因为 \(G_i/G_{i + 1}\) 是阿贝尔群，所以 \(\overline{x}\overline{y}=\overline{y}\overline{x}\)，即 \((xG_{i + 1})(yG_{i + 1})=(yG_{i + 1})(xG_{i + 1})\)。根据商群的运算规则，\(xyG_{i + 1}=yxG_{i + 1}\)，这意味着 \(xy(yx)^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}\in G_{i + 1}\)。通过对正规子群链的逐步推导，可以得出群 \(G\) 满足可解群的定义。 #### 正规子群链存在性证明 对于有限群 \(G\)，一定存在正规子群链。可以通过以下方法构造： 设 \(G\) 是有限群，若 \(G\) 是单群（即 \(G\) 除了 \(\{e\}\) 和 \(G\) 本身外没有其他正规子群），则正规子群链为 \(G\triangleright \{e\}\)。若 \(G\) 不是单群，则存在非平凡正规子群 \(G_1\)，使得 \(G\triangleright G_1\)。对 \(G_1\) 重复上述过程，由于 \(G\) 是有限群，经过有限步后一定可以得到正规子群链 \(G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{e\}\)。 ```python # 这里只是简单示意，实际群论计算在 Python 中需要更复杂的实现 # 假设我们有一个简单的群表示为列表 G = [1, 2, 3, 4] # 这里只是示例，实际正规子群的判断需要根据群的运算规则 G1 = [1, 2] G2 = [1] normal_chain = [G, G1, G2] print(normal_chain) ```
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