本文介绍了使用常系数积分因子法解决特定类型的微分方程的方法。通过具体实例，展示了如何找到积分因子并利用它将方程转换为全微分方程形式，进而求解。该方法对于解决一阶线性微分方程特别有效。
以a(t)=2t为例子
I ( t ) = e − ∫ 0 t a ( T ) d T I(t)=e^{- \int_{0}^{t} a(T)dT} I(t)=e−∫0ta(T)dT
或
改写成全微分方程的形式找积分因子
(
−
∂
A
∂
y
+
∂
B
∂
x
)
=
−
P
(
x
)
[
只
与
x
有
关
]
(- \frac { \partial A } { \partial y }+\frac { \partial B } { \partial x })=-P(x)[只与x有关]
(−∂y∂A+∂x∂B)=−P(x)[只与x有关]
1
B
(
∂
P
∂
y
−
∂
Q
∂
x
)
=
μ
(
x
)
[
只
与
x
有
关
]
\frac { 1 } { B }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(x)[只与x有关]
B1(∂y∂P−∂x∂Q)=μ(x)[只与x有关]
则方程的积分因子
φ
=
φ
(
x
)
=
e
∫
P
(
x
)
d
x
φ=φ(x)=e^{\int P(x) dx}
φ=φ(x)=e∫P(x)dx
乘上积分因子后方程为全微分方程，两次积分即可反解出结果
y e ∫ P ( x ) d x − ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x + f ( y ) = y e ∫ P ( x ) d x + g ( x ) ye^{ \int_{}^{} P(x)dx } -\int Q(x)e^{ \int_{}^{} P(x)dx }+f(y)=ye^{ \int_{}^{} P(x)dx }+g(x) ye∫P(x)dx−∫Q(x)e∫P(x)dx+f(y)=ye∫P(x)dx+g(x)
来自MIT公开课的微分方程视频，有Gilbert Strang教授主讲
本视频为第八讲：常系数积分因子法
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