方程根式解笔记4

FakeOccupational FakeOccupational 博客等级 墨衍会员 · AI 创作全网分发 墨衍智能分发 本文由作者通过墨衍一键同步至各平台 1分发平台 800+累计阅读 870平均单平台 已同步平台 优快云 微信公众号 微博 知乎 掘金 百家号 博客园 抖音 小红书 你的文章也可以这样分发 墨衍会员 ¥399起/年，写一次发全网 我也要 码龄6年
关注
原创 最新推荐文章于 2026-08-31 21:41:30 发布 870 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›
为何高于四次的方程没有根式解？ 又见于知乎为何从五次方程开始就没有加减乘除开方的求根公式了？的回答。 可能不少人上学的时候都曾对这个问题感兴趣，至少我是一个。无意间在知乎上看到这个问题，又勾起了自己的兴趣，然后就上网、找书钻研了一番。我不是学数学的，我对问题的理解肯定有不准确的地方，所以这里算不上回答了这个问题，只是把自己的心得和大家分享一下。虽然里面有比较多的公式和概念，希望是比较好懂的，能对同样感兴趣的人有点启发。 先来... 阅读详情

伽罗瓦理论笔记暂记1
伽罗瓦理论笔记暂记2
方程根式解笔记3
方程根式解笔记4
对于一个群判断是否为可解群并不是很简单
但是对于文字系数的一般的群
文字系数的5次和5次以上的方程不能用根式解

定理次数≥5 的文字系数的多项式方程不能用根式解.
所谓文字系数，就是方程所有系数是独立的( 或称代数无关的)
从而n次方程的n个根也是独立的，于是根之间在方程系数域中没有任何代数
关系，前面谈到的“保持根之间在方程系数域中的全部关系”的条件现
在相当于没有条件，因此，n个根的所有n!个置换就构成了方程在系数
域上的群，它同构于Sn.或者用现在的语言叙述为，文字系数的n次方程
对基域的伽罗瓦群同构于Sn.

因为n≥5时An不是可解群（这是An不是单群）;
而An是Sn的子群，如果Sn是可解群，则
因可解群的子群都是可解群，就推出An是可解群，这是矛盾.这样就说
明了n≥5时Sn不是可解群,

这个定理也表明，5次和5次以上的方程，没有通常意义下的“求根公
式"
确有数字系数的5次及5次以上的方程不可用根式解.例如，有理数域上的5次方程
x^5+20x+16= 0
就不可用根式解，因为它的伽罗瓦群是S5，不是可解群

收录于
群与作用

当前文章被收录于：

群与作用
29 篇文章 4 人学习
订阅专栏 查看详情
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
五次方程无根式解的群论证明详解 五次方程无根式解的群论证明：本文系统阐述了五次方程无解性的现代证明。首先介绍伽罗瓦理论核心概念，包括域扩张、自同构群和根式扩张的代数刻画。重点分析了对称群S₅的结构，证明其不可解性：通过计算导群列S₅▷A₅▷A₅...不终止，且A₅是单群。由此得出一般五次方程无根式解。文章还探讨了特殊可解情况（如循环方程、二面体群方程）和现代解法（椭圆函数、超几何表示），最后展望了逆伽罗瓦问题等前沿方向。（149字） 阅读详情

相关推荐

33、代数方程根式可解性的探索与证明

本文深入探讨了代数方程根式可解性的历史与理论基础，重点介绍了伽罗瓦理论在判断方程是否可用根式求解中的核心作用。从二次到五次方程的求解公式出发，阐述了为何一般五次及以上方程不可根式求解，并通过域扩张、伽罗瓦群、可解群等概念揭示其深层代数结构。同时，文章还应用该理论证明了立方倍积、三等分角和化圆为方等经典几何问题的不可解性，展示了伽罗瓦理论对现代数学发展的深远影响。

vim8coder的博客 147

读书笔记：《群论彩图版》

VISUAL GROUP THEORY 一、群是什么 群不是关于数字的，而是关于模式的。群论研究的是关于旋转模式的对称。 群的法则： 存在一个预先定义的、不会改变的作用列表。 每个作用都是可逆的。 每个作用都是确定性的。 任何连续作用的序列仍是一个作用。 二、群看起来像什么 群的操作是群的生成元。 凯莱图（状态为节点，生成元为边）：群的可视化工具。通过凯莱图，可以看出抽象群的结构。 Group Explorer 三、为什么学习群 任何群都可以看作是由一些事物重新排列的方式组成的。群之所以和对称

每一个不曾起舞的日子，都是对人生的辜负。 5093

ResumeProject

利用设计模式，私人订制优雅的简历

抽象代数之可解群的子群是可解群以S4为例

S4有24个元素，其中六个元素组成S4的子群S3。S4可解，所以S3可解。

linux-0.11调试教程 4083

用YOLO11-seg玩转裂缝分割：CBAM注意力魔改+轻量化GhostConv实战

本文详细解析了如何利用YOLO11-seg进行裂缝分割任务，结合CBAM注意力机制和GhostConv轻量化改造，显著提升模型性能。通过实战案例展示从数据准备、模型训练到部署优化的全流程，特别针对小目标检测和复杂背景干扰等挑战提供解决方案，最终实现高效准确的裂缝检测系统。

j0k1l2m3n的博客 287

EPLAN二次开发入门：Visual Studio 2019环境配置与插件调试实战

本文详细介绍了EPLAN二次开发入门的关键步骤，重点讲解如何在Visual Studio 2019中配置开发环境并进行插件调试。通过创建符合命名规范的项目、引用核心API库、实现插件接口以及使用附加进程调试等实战技巧，帮助电气工程师快速掌握EPLAN插件开发，提升自动化设计效率。

h6i7j8的博客 763

抽象代数 04.06可解群和幂零群

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》 §4.6 可解群和幂零群{\color{blue}{\text{\S 4.6 可解群和幂零群}}}§4.6 可解群和幂零群 考虑扩张N→G→G/N,什么时候G/N是循环群，更一般的是交换群。考虑扩张N \to G \to G/N,什么时候G/N是循环群，更一般的是交换群。考虑扩张N→G→G/N,什么时候G/N是...

一朵花开的时间 5109

【深度学习基础】Temporal Fusion Transformer

从下向上看：全连接（Dense） → ELU(指数线性激活函数（比relu好点，有利于模型收敛）) → 全连接（Dense） → 门控线性单元（Gate）（Gated Linear Units (GLUs)） → Layernorm。：一方面，它可以进行静态上下文变量和动态变量的融合，另一方面，通过门控进行了特征选择操作，门控体现在GLU(门控线性单元)中，用了sigmoid控制信息的通过程度，具有良好的适应性，能够自动选择有效信息，自适应地调整网络复杂性。输入：主输入，可选的上下文向量c。

weixin_41838721的博客 1225

方程根式解笔记3

方程根式解的充要条件 直接从域的角度不容易做出来，但是从群的角度就大大降低了难度。 特征零上的域 如数域 的扩张的问题 方程的伽罗瓦群 域是对加减乘除的四则运算封闭的 设F(x)是域F上的多项式，即f®∈ F[x]. 为简单，我们设F是特征为0 的域，f(x) 是无重根的多项式，记K是f(x)的分裂域，则Gal(K/F) 称 为方程f(x) = 0对基域F的伽罗瓦群，记为G(f(x), F). 由于K是可分多项式f(x)∈F[x] 的分裂域，所以K是F的伽罗瓦扩张， 从而可以用伽罗瓦基本定理 方程的根式解

ResumeProject的博客 1054

GEO数据挖掘实战：用R语言从GSE42872数据集中找到关键差异基因（附完整代码）

本文详细介绍了使用R语言从GSE42872数据集中挖掘关键差异基因的完整流程，包括数据下载、探针ID转换、差异表达分析和功能富集分析。通过实战代码演示，帮助生信研究者掌握GEO数据挖掘的核心技术，快速识别疾病相关基因并理解其生物学功能。

weixin_42625070的博客 365

基于 MATLAB 的综合能源系统建模：全面解析与案例应用 

本文详细介绍了基于 MATLAB 的综合能源系统建模相关知识，包括 MATLAB 在综合能源建模中的优势、综合能源系统各组件和网络的建模方法，并通过园区综合能源系统的案例展示了从建模到优化调度求解以及结果分析的全过程。在当今全球能源格局深刻变革的背景下，综合能源系统（Integrated Energy System，IES）作为一种创新的能源供应体系，整合了多种能源形式，如电力、热力、燃气等，以实现能源的高效生产、传输、分配和利用。需要考虑燃气的压力、流量特性以及管道的阻力特性等。

qq_57128262的博客 1336

五次方程无根式解的证明与群论解析

19世纪数学突破：伽罗瓦群论证明五次方程无根式解 摘要：1824年阿贝尔首次证明一般五次方程不存在根式解，1832年伽罗瓦通过开创性群论方法给出更深刻解释。本文系统阐述：1)根式解定义；2)伽罗瓦理论核心思想——方程可解性等价于伽罗瓦群的可解性；3)关键证明显示五次对称群S₅及其子群A₅（最小非阿贝尔单群）的不可解性。研究揭示：虽然特殊形式（如可分解、循环方程）仍可解，但一般五次方程因群结构限制而无根式解。这一发现不仅解决千年数学难题，更开创了现代代数学新范式，对密码学、物理学等领域产生深远影响。（148字

aichitang2024的博客 2837

Labview及NI-USRP驱动安装教程

软件下载 安装使用的LabVIEW2018及NI-USRP驱动程序已上传，下载地址： 天翼云盘链接 (访问码:oc33) 百度网盘链接 (提取码：88mi) (注：天翼云盘下载不限速) LabVIEW2018安装步骤 右键软件压缩包选择解压至LabVIEW2018 选中文件，鼠标右击选择以管理员身份打开2018LV-WinChn.exe文件。 点击确定。 点击Unzip解压。 点击确定。 点击下一步。 填写任意信息后，点击下一步。 点击下一步。 点击浏览更改安装路径建议安装到除C盘以

dadapongi6的博客 2万+

无符号有符号乘法_如何证明五次及以上方程无根式解？|解方程系列5

弘毅：如何证明五次及以上方程无根式解？温欣提市：大多数感到困惑的人，首先主要是因为没有把问题描述清楚。首先，直观一点解释，简单的高次方程，比如 x的5次方=2，这种，是明显有根式解的，除了实数根2的开五次方, 还有四个复数根都能用加减乘除和开方表示出来。而稍微复杂一点的方程，比如 这种，就很难说了。因为你用加减乘除，以及开有限次方等这些操作能凑出的数虽然有无限多个，但是他们始终是含在某一类数范围内...

weixin_39866857的博客 1765

【向量数据库】Milvus向量数据库 ① 从入门到实战

Milvus是专为海量高维向量设计的开源数据库，支持AI搜索、图像识别、推荐系统等场景。相比传统关系型数据库（如PostgreSQL），它更高效处理语义检索、非结构化数据存储，可毫秒级响应亿级向量查询。单机场景下，推荐配置8GB内存/32GB硬盘，支持FAISS/HNSW等索引算法，支持GPU加速。本文涵盖优快云专属部署教程（CentOS脚本/配置调优），提供避坑指南与扩展资源，并对比分析与传统数据库差异。适合算法工程师、AI开发人员快速上手，附官方下载与性能测试技巧，手把手教你搭建高效向量检索系统！

xiezhiyi007的专栏 1586

Android P车机添加屏幕多指全局自定义手势操作

参照原生状态栏全局下拉手势拦截，实现屏幕全局多指手势响应操作，并对手势进行转换为KeyEvent，以便项目自定义手势行为或应用拦截手势行为。

shusuanly的博客 1251

含根式的定积分计算_如何证明五次及以上方程无根式解？|解方程系列5

弘毅：如何证明五次及以上方程无根式解？温欣提市：大多数感到困惑的人，首先主要是因为没有把问题描述清楚。首先，直观一点解释，简单的高次方程，比如 x的5次方=2，这种，是明显有根式解的，除了实数根2的开五次方, 还有四个复数根都能用加减乘除和开方表示出来。而稍微复杂一点的方程，比如 这种，就很难说了。因为你用加减乘除，以及开有限次方等这些操作能凑出的数虽然有无限多个，但是他们始终是含在某一类数范围内...

weixin_28900437的博客 1099

IMSL CNL 7.0.0 (x86-64)Crack

IMSL CNL 7.0.0 (x86-64)Crack intel的算法库破解文件，这是C++版本的破解文件

怎么解log方程_五次及以上方程不可解，到底什么意思？|解方程系列4

弘毅：五次及以上方程不可解，到底什么意思？能直观一点解释吗？温欣提市：这个问题的确困惑了很多人。首先，直观一点解释，简单的高次方程，比如 x的5次方=2，这种，是明显有根式解的，除了实数根2的开五次方, 还有四个复数根都能用加减乘除和开方表示出来。而稍微复杂一点的方程，比如 这种，就很难说了。因为你用加减乘除，以及开有限次方等这些操作能凑出的数虽然有无限多个，但是他们始终是含在某一类数范围内，而...

weixin_33280038的博客 856

LinePhone3.2.7(android端最新版本) sip客户端

SIP客户端For android：LinePhone3.2.7(最新版本)，官网地址：http://www.linphone.org/

ET2012新版免狗免安装绿色软件

ET2012新版免狗免安祖昂绿色软件。，新界面，新视觉，

让微积分穿梭于工作与学习之间（23）：用极限的思想把一元一次方程和一元二次方程的根式解统一起来

写这篇博客最浪费时间的地方是标题。之前打算照着前面圆弧直线系列的那种句式，题名为“一元二次方程的根式解及其二次项系数在趋于0时的极限”，但想想上一篇很容易把大家看晕，就还是别取这标题了，免得吓坏更多的人。 前面先说一下，这篇是为后续的圆弧直线的一些算法打个基础。 从上小学开始，我就在数学课上听到一些从特殊到一般或者从一般到特殊的命题，诸如“正方形是长宽相等的长方形”，“等边三角形是特殊的等腰三...

iloveas2014的专栏 2040

数学建模模型总结

这是本人在两年内准备参加数学建模竞赛搜集到的模型资料，已经经过了本人的筛选和整理，希望能够对准备参加数学建模竞赛的学弟学妹们提供一些帮助！

素数5在三生原理和方程有无根式解问题中均起临界作用的原因是什么？

素数5的临界作用本质是‌数学对称性层级的双相坍塌‌：在数论领域作为生成基元触发无限结构的对称性破缺，在代数领域作为扩张奇点阻断有限解法的路径延伸。这种跨越数论与代数的统一性，暗示数学基础理论中未被完全认知的深层联结法则。素数5的临界作用本质上是数论筛分结构的完备性与代数对称性破缺的不可逆性在素数维度上的交汇。其作为模数基元（三生原理）和群论阶数（五次方程）的双重角色，揭示了数学中“素数作为结构边界”的深层法则。

Hu_sansheng的博客 1399

巧用三角代换妙解根式方程，Prometheus 05-02: 告警规则与Alertmanager配置。

利用$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$，化简为$\tan\theta \sec\theta = 2$，进一步解得$\sin\theta = 2\cos^2\theta$，最终通过回代得到$x = \frac{1}{4}$。解得$\theta + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。在限定区间内，$\theta = 0$或$\theta = -\frac{\pi}{2}$。

rh3shizs的博客 1444

【数学】三次根式问题

三次根式问题\Huge\textsf{三次根式问题}三次根式问题 前置知识！ 1.abn=an∗bn1.\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}1.nab​=na​∗nb​ 2.a3+b3=(a+b)(a2−ab+b3),2.a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^3),2.a3+b3=(a+b)(a2−ab+b3),       a3−b3=(a−...

A_Dark_Horcrux的博客 1604

matlab 韦达公式,三次方程的根式求解（通俗版本）

(说明：由于本文章含有较多的根号，推荐使用IE直接阅读，或者使用IE+MathPlayer。火狐浏览器对根号的显示是相当的差。)大家知道，1到4次的代数方程都有求根公式(尽管未必是最简单的方法)，对于1次和2次方程的求根，大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗？$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$网上有不少关于这方面的资料，但是却有着两个缺点：一是缺乏描述专业数学公...

weixin_31315007的博客 1714

用matlab求三次方程根,三次方程的根式求解（通俗版本）

(说明：由于本文章含有较多的根号，推荐使用IE直接阅读，或者使用IE+MathPlayer。火狐浏览器对根号的显示是相当的差。)大家知道，1到4次的代数方程都有求根公式(尽管未必是最简单的方法)，对于1次和2次方程的求根，大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗？$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$网上有不少关于这方面的资料，但是却有着两个缺点：一是缺乏描述专业数学公...

weixin_39634443的博客 5621

实现强大的牛顿迭代法解任意一元方程

原谅我标题党了，牛顿迭代法不是万能的，但是它能解决工程上95%的解方程问题。 可能有人要问了，一元方程还用解？口算一下不就出来了！ 但如果是x5+x4+x^3=100这种一元多次方程，就不是口算的问题了，笔算也算不出来。 五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。 但是没有根式不代表没有办法求解，牛顿迭代法就是通过迭代的方式，不断逼近正确解的万金油方法，并且，它在程序上非常好实现！ 其方法是：取一个初始点，在该点做函数的切线，并以切线与x轴

CLSChen的Java学习笔记 1341

伽罗瓦对应与方程的根式可解性

域扩张⟶自同构⟶伽罗瓦群⟶伽罗瓦对应⟶可解群⟶根式可解。

qq_26074053的博客 322
上一篇： 积分第一中值定理与伏汝兰尼（Froullani）积分
下一篇： 拉格朗日乘数法求可能的极值点——多元微积分
点赞 0
评论 0
书签 书签 3
FakeOccupational
FakeOccupational
博客等级 码龄6年 2万+粉丝 1727原创
+ 关注 专栏目录 订阅专栏
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值