伽罗瓦理论笔记暂记1

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原创最新推荐文章于 2026-05-07 08:15:00 发布 748 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

伽罗瓦理论伽罗瓦理论---域的扩张与分裂域命题1.如果域，,,则是域在中不可约. Proof: 假设不可约，我们证是域。任取中的非零元,只需找到其逆即可。由于非零，则，即，又不可约，故，从而存在使得，为此我们有即，这说明。由的任意性知是域。另一方面假设是域。假设可约，（此处用代替）。则在中有分解式，且。下面说明是中非零元，否则则有，即，这与矛盾，故是中非零元。注意到，即是的零阅读详情

伽罗瓦理论笔记暂记1
伽罗瓦理论笔记暂记2
方程根式解笔记3
方程根式解笔记4

方程f(x)=0在F上的群

每一个多项式方程f(x)=0,都可以看作某个系数域F上的多项式方程，F是复数域C的子域。
n次方程f(x)=0在复数域C中有n个根{a1,……，an},不妨设这里没有重根。
这个根集到自身的置换最多有n!个，他们构成一个群，同构于Sn.
但是这些根往往不是独立的，或者说根之间是有代数关系的。
这n!个置换中保持根之间在F中的全部关系（粗略地说，这里的“关系”，是指系数在F中的上述n个根的多项式等式关系）都不变的置换的个数一般少于n!个，他们又构成上述那个群的一个子群，同构于Sn的一个子群，称为“方程f(x)=0在F上的群”.

f(x)=0在F上，f(x)在F上有分裂域K，这个群就是： Gal(K/F) K的F自同构组成的群（在F上恒等）

一个特殊情况：
K=F ,也就是f(x)的根都在F上（比如有理系数的多项式的根全都是有理数） Gal(K/F)=identical

F<E<K Gal(K/F)=>Gal(K/E)

f(x)=0既可以看作F上的多项式方程，又可以看作是F的某个扩域F1上的多项式方程，F1仍是C的子域。当F扩大成F1时，根之间在方程系数域中的全部关系也就增加了，保持这些全部关系都不变的置换就减少了，从而f(x)=0在系数域上的群就缩小了。当这种群缩成幺群时。即只有恒等置换才能保持根之间在F中的全部关系都不变，就表明方程的所有根都属于系数域了。
f(x)=0既可以看作F上的多项式方程，又可以看作是F的某个扩域F1上的多项式方程，F1仍是C的子域。当F扩大成F1时，根之间在方程系数域中的全部关系也就增加了，保持这些全部关系都不变的置换就减少了，从而f(x)=0在系数域上的群就缩小了。当这种群缩成幺群时。即只有恒等置换才能保持根之间在F中的全部关系都不变，就表明方程的所有根都属于系数域了。

方程的系数域的扩大的过程可以多次重复进行，如果每次扩大时添加的都是原系数域的根式，则扩域中的元素都能用原域中的元素的加减乘除和根式表示出，如果这种扩大系数域的方式能使方程f(x)在扩域上的群称为幺群，那么方程f(x)=0的根就一定可以用原来系数域中的元素的加减乘除和根式表示出，方程f(x)=0也就有了“根式解’.这就是伽罗瓦探寻”方程可用根式解“的思路。
方程的系数域的扩大的过程可以多次重复进行，如果每次扩大时添加的都是原系数域的根式，则扩域中的元素都能用原域中的元素的加减乘除和根式表示出，如果这种扩大系数域的方式能使方程f(x)在扩域上的群称为幺群，那么方程f(x)=0的根就一定可以用原来系数域中的元素的加减乘除和根式表示出，方程f(x)=0也就有了“根式解’.这就是伽罗瓦探寻”方程可用根式解“的思路。

也就是说每次用根式扩张的方法能不能最后将群变为恒等映射。

例子： $x^4+bx^2+c=0$
这里b,c是独立的（或者称在Q上是代数无关的，即b,c不能作为Q上任意2元多项式的根）。该方程的系数域可以看作是Q（b,c）,即有理数域添加b,c而成的域，记为F.
这个四次方程有四个根：
$a1=\sqrt { x\frac{-b+\sqrt { b^2-4c}}{2}} \qquad a2=-\sqrt { x\frac{-b+\sqrt { b^2-4c}}{2}}$
$a3=\sqrt { x\frac{-b-\sqrt { b^2-4c}}{2}} \qquad a4=-\sqrt { x\frac{-b-\sqrt { b^2-4c}}{2}}$
于是：
$\qquad a3+a4=0$
这是根在F中的两个关系。
F不用扩充自动就有两个关系。
如果考虑根集的所有置换共有4！个。
$作用\sigma保持这两个关系不变则有\sigma(a1)+\sigma(a2)=0,\sigma(a3)+\sigma(a4)=0\\置换就只有8个\\（恒等，a1,a2可互换，a3,a4可互换,a1，a3互换，同时a2,a4互换， \\变换（4，3，1，2）结果为【3，4，2，1】，结果为【4，3，1，2】的，结果为【4，3，2，1】的）$
所以根没有在F中，因为保持关系不变的置换有8个。
用伽罗瓦理论来说就是分裂域对域F的次数是8
可以证明，这8个置换，也是24个置换中使根a1,a2,a3,a4之间在F中全部关系都不变的仅有的置换。这8个置换构成的集合是有结构的。他们关于置换的乘法成群。称为该方程在F上的群，它同构于S4的一个子群。

构成的这个群就是f(x)=0在F上的群，实际上就是Gal(K/F),这时K!=F，也就是没有将根全部找出来。

加元素：

我们再次注意到
$a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0.它并不是根之间在F上的一个关系，\\因为\sqrt { b^2-4c}不是F中的元素。\\但如果把根式\sqrt { b^2-4c}添加到F中去，形成的扩域F1=F(\sqrt { b^2-4c}),\\则a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0就是根之间在F1上的一个关系了。$
$a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0.它并不是根之间在F上的一个关系，\\因为\sqrt { b^2-4c}不是F中的元素。\\但如果把根式\sqrt { b^2-4c}添加到F中去，形成的扩域F1=F(\sqrt { b^2-4c}),\\则a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0就是根之间在F1上的一个关系了。$
$\qquad a3+a4=0导致a1^2=a2^2和a3^2=a4^2,所以，\\上面的8个置换中的前4个使根之间在F1中的关系a1^2-a2^2-\sqrt { b^2-4c}=0保持不变\\但后4个置换则不能使之保持不变。可以证明，这前4个置换能使跟之间在F1中的全部关系保持不变，从而构成方程在F1上的群，\\它是这8个置换构成的群的子群。$
$我们再次注意到a3-a4-2\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 它并不是根之间在F1中的一个关系，因为虽然 \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2} \in F1\\ 但是其开平方后一般不再是F1中的元素。\\可是，如果把F1中元素的根式\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}} 添加到F1中去，形成扩域F2=F1（\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}}）\\ 则 a3-a4-2\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 就是根之间在F2中的一个关系。这个关系只在前两个置换下保持不变，\\而在后六个置换下都不能保持不变，从而构成方程在F2上的群，它是上述4个置换构成的群的子群。$
$因为 a 3, a 4 相差一个符号$

$我们再次注意到a1-a2-2\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 它并不是根之间在F2中的一个关系，因为虽然 \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2} \in F1\\ 但是其开平方后一般不再是F1中的元素。\\可是，如果把F2中元素的根式\sqrt { \frac{-b-\sqrt {b^2-4c}}{2}} 添加到F2中去，形成扩域F3=F2（\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}}）\\ 则 a1-a2-2\sqrt { \frac{-b+\sqrt {b^2-4c}}{2}}=0\\ 就是根之间在F3中的一个关系。\\这个关系只在\sigma 1,\sigma 3 两个置换下保持不变，\\ 但\sigma 3不能使根之间再F中的全部关系保持不变，从而也就不能使根之间在F3（F2\subset F3）中的全部关系保持不变，$

$从这个例子可以看到，方程在系数域上的群，是方程在系数域中可解性的关键，因为这个群的大小表示出方程的根在系数域上的不可区分的程度，当这个方程在系数域上的群是最小的群幺群时，表明根在系数域上完全区分开，或者说，根就在系数域中。$
这个例子是个特殊的四次方程。
实际工作是在不知道方程的根的表达式的情况下进行的。
伽罗瓦说明了，在不知道根的情况下，如何能找到方程在系数域上的群，
以及通过预解式找到向系数域中添加的根式从而得到更大的系数域。
这样逐次进行，直到系数域扩大到方程在扩域上的群是幺群时，根就在扩大的系数域里了。