[算法学习]——dfs序

算法交流群：174495261

每周五篇博客：（1/5）

定义

按照深度优先搜索（DFS）的访问顺序对树节点进行排序，即得到树的dfs序

性质

在dfs序中，每个节点及其整个子树的节点的dfs序是一段数值连续的编号

例如下图中，红色数字表示每个节点的dfs序编号

以 $2$ 子树为例，其子树包含节点 {2,4,5,6,9,10}\{2, 4, 5 ,6, 9, 10\}{2,4,5,6,9,10} ，在dfs序的编号中，其dfs序的编号区间为 $[2,6]$

更近一步地，我们可以对每个节点维护两个值——在DFS中每个阶段的进入时间（第一次访问该节点的计数）与退出时间（遍历完以该节点为根的子树中的最后一个节点的计数），在这里我用两个数组 $l_u,r_u$ 分别表示节点 $u$ 的进入时间和退出时间

例如上图中的树，引入 $l_u,r_u$ 数组后，我们用红色数字表示 $l_u$ ，用蓝色数字表示 $r_u$ 。可以得到

同时 $l_u$ 实际上就是我们最开始定义的dfs序，只不过加上 $r_u$ 后我们可以快速知道节点 $u$ 为根的子树中包含了哪些节点的dfs序编号

为了维护dfs序与节点的映射关系，所以我们还可以在定义一个数组 $i{d}_i$ 表示dfs序编号为 $i$ 对应着树中的哪个节点，例如上图中 $i{d}_3=5,i{d}_8=3$ ，换句话说 $i{d}_{l_u}=u$ （也可以从函数/反函数的角度理解）

注意dfs序并不是唯一的，根据dfs顺序的不同，每个节点所对应的编号也会不同。如果题目中需要保证唯一的话，那么我们可以增加一些约束条件（例如强制要求dfs时优先遍历编号更小的节点）来实现唯一性

应用

1. 点 $u$ 为根的子树中包含了dfs序处于区间 $[l_u,r_u]$ 的节点
2. 判断点 $v$ 是否是 $u$为根的子树中的节点：如果满足 $l_u\le l_v$ 并且 $r_u\ge l_v$ ，那么点 $v$ 是 $u$为根的子树中的节点，否则不是

更进一步地，我们可以配合一些数据结构来实现对树上节点信息的维护

举个简单的例子，如果我们想要让以 $u$ 为根的子树上的所有节点的权值加一

如果暴力维护的话时间复杂度会来到单次 $O(n)$ 的级别。而区间修改我们有一个很常见的数据结构——线段树，但是线段树只能维护连续区间的信息

结合我们子树内dfs序连续的性质，我们可以用线段树根据dfs序维护信息。如果我们想让 $u$ 为根的子树所有节点权值加一，那么只需要用线段树让区间 $[l_u,r_u]$ 加一就可以了。因为线段树是维护的dfs序的权值，如果一开始每个节点都有一个初试权值，那么在初始化线段树时我们应该让线段树的第 $i$ 个叶子节点对应着原权值数组中的第 $i{d}_i$ 个节点，或者我们干脆直接用线段树操作 $n$ 次让 $[l_u,l_u]$ 区间加上节点权值也是可以的

再进一步地讲，如果我们还想让 $u,v$ 两点在树上的简单路径中的每个节点权值加一，那么我们可以配合上树链剖分进行实现，不过本文就到此为止，关于树链剖分部分在不久的未来也许会写一篇博客

代码

std::vector<int> go[N];
int l[N], r[N], tot, id[N];

void dfs(int u, int fa) {
    l[u] = ++ tot;
    id[tot] = u;
    for (auto v : go[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
    r[u] = tot;
}