DFS 序总结

DFS 序

一、 DFS 序

1. 定义

对树进行深度优先搜索遍历时，对于每个节点，在刚进入递归后及即将回溯前各记录一次该点的编号，得到的最后产生的长度为 $2N$ 的节点序列为 DFS 序；

void dfs(int i) {
    d[++len] = i;
    flag[i] = true;
    for (int t = 0; t < g[i].size(); t++) {
        int v = g[i][t];
        if (!flag[v]) {
            dfs(v);
        }
    }
    d[++len] = i;
    return;
}

2. 特点

1. 每个节点 $x$ 的编号在序列恰好存在两次；

2. 设两次出现区间为 $l_i$ 与 $r_i$ ，则闭区间 $[l_i,r_i]$ 就是以 $x$ 为根的子树的 DFS 序；

则可以通过 DFS 序将子树的统计转化为序列上的区间统计；

3. 性质

树上任意两点 $x,y$ 路径上的点为，最后一个 $x$ 到第一个 $y$ 之间出现奇数次的数，再加上两点的 LCA；

说明

由于在 DFS 序中节点 $x$ 第一次出现的位置到最后一次出现的位置之间都是 $x$ 子树上的节点；

所以在 $x$ 节点最后一次出现到 $y$ 节点第一次出现间的节点即为 $x$ 与 $y$ 的祖先；

但是，由于在这其中可能会遍历到其他不在两点路径上的子树，则这些字数上的节点均应是已经回溯的，则出现次数为 2 次，所以找这段区间中出现次数为奇数的节点，为两点上的路径；

由于在 DFS 序中，两点的遍历顺序为 $x\to LCA(x,y)\to y$ ，但是又由于 DFS 遍历时，只有进入节点与完全遍历完子树时才会记录，所以还要加上两点的 LCA；

4. DFN 序

DFN 序则为，在 DFN 序中该节点被搜索的次序 (时间戳) ；

void dfs(int i) {
    dfn[i] = ++len;
    flag[i] = true;
    for (int t = 0; t < g[i].size(); t++) {
        int v = g[i][t];
        if (!flag[v]) {
            dfs(v);
        }
    }
    return;
}

二、欧拉序

1. 定义

进入节点时记录，每次遍历完一个子节点时，返回到此节点记录，得到的 $2\ast N-1$ 长的序列；

void dfs(int i) {
    d[++len] = i;
    flag[i] = true;
    for (int t = 0; t < g[i].size(); t++) {
        int v = g[i][t];
        if (!flag[v]) {
            dfs(v);
            d[++len] = i;
        }
    }
    return;
}

2. 性质

1. 节点 $x$ 第一次出现与最后一次出现的位置之间的节点均为 $x$ 的子节点；

2. 任意两个节点的 LCA 。是欧拉序中两节点第一次出现位置中深度最小的节点；

   说明

   因为在欧拉序中节点 $x$ 第一次出现的位置到最后一次出现的位置之间都是 $x$ 子树上的节点；

   所以在 $x$ 节点最后一次出现到 $y$ 节点第一次出现间的节点即为 $x$ 与 $y$ 的祖先；

   但因为 $x$ 可能为 $y$ 的祖先，或 $y$ 可能为 $x$ 的祖先；

   所以应查找 $x$ 与 $y$ 第一次出现的区间内的节点；

   则可将 $x$ 与 $y$ 看作以其 LCA 为根的子树上的两个节点，则在欧拉序遍历时，顺序为 $x\to LCA(x,y)\to y$ ，则区间中深度最小的节点即为两点的 LCA ；

   用 RMQ 计算 $x$ 与 $y$ 第一次出现的区间内深度最小的节点即可；