为美好的XCPC线上典题——EDU89 D. Two Divisors（数论）

题意

给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 。

对于每个 $a_i$ ，找出它的两个因数 $d_1>1$ 和 $d_2>1$ ，使得 $\gcd (d_1+d_2,a_i)=1$ （其中 $\gcd (a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数），或者说不存在这样的对。

给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 。对于每个 $a_i$ 找到它的两个因数$d_1>1$ 和 $d_2>1$ 使得 $gcd(d_1+d_2,a_i)=1$ （其中 $gcd(a,b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数）或说不存在这样的对。

思路

一般涉及到因数的题目都应该联想到将其质因数分解，此题也不例外

为了方便下文用$n$替代$a_i$

我们令$n=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast \dots p_m^{k_m}=\prod p_i^{k_i}$

当$m=1$的时候是不存在合法的$d1,d2$的，这很容易证明——令$d1=p_1^t$，那么$d2=\frac{n}{p_1^t}=p_1^{k-t}$，两者之和依旧是$p_1$的倍数，那么和$n$取gcd显然不为$1$。这同样证明了$d1,d2$需要互质，不然的话他们的和会是相同因数的倍数

当$m\ne 1$时，由于上文证明了$d1,d2$需要互质的关系，所以这里我们要要求$d1,d2$二者没有相同的质因子，为了简化思考我们干脆令
$$d1=p_i^{k_i},d2=\frac{n}{d1}=\prod _{j\ne i}{p}_j^{k_j}$$
接下来我们证明这是一组合法的答案

对于$n$的任意质因子有$p_i\mid n$，设这个$p_i$就是分给$d1$的质因子，那么$p_i\mid d1$，并且$p_i\nmid d2$。把整除换成取模的形式有$d1\equiv 0\mathrm{mod}{p}_i$，且$d2\not\equiv 0\mathrm{mod}{p}_i$，那么二者只和有$d1+d2=d2\not\equiv 0\mathrm{mod}{p}_i$。也就是说$d1+d2$对于$n$的任何质因子都不整除，既然没有共同的质因子，那么二者一定是互质的，即$gcd(d1+d2,n)=1$

代码实现上比较简单，用埃氏筛可以直接筛出来每个数的最小质因子，然后让这个最小质因子为$d1$，剩下的都归$d2$，看看$d2$是否为一即可

题外话：写这题时我一开始想了个错的证明交上去A了，写这博客的证明的时候才发现自己想错了，这个证明是我看了官方题解写的，感觉整除转取模意义下的运算的思想很实用

代码

int fac[N];
void solve() {
    for (int i = 2; i < N; i ++) {
        if (fac[i]) continue;
        for (int j = i; j < N; j += i)
            if (!fac[j])
                fac[j] = i;
    }

    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<PII> ans(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        std::cin >> x;
        int t = 1, p = fac[x];
        while (x % p == 0) x /= p, t *= p;
        if (x == 1) {
            ans[i] = {-1, -1};
            continue;
        }
        ans[i] = {t, x};
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) std::cout << ans[i].first << " ";
    std::cout << "\n";
    for (int i = 1; i <= n; i ++) std::cout << ans[i].second << " ";
}