区间动态查询问题——线段树模板

一、定义

• 线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
• 线段树的每一个结点都保存一条线段（即一个区间），对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

特性：

1. 时间复杂度：建树操作O(N)，查询、更新操作O(logN)；此外（未优化）需要额外的空间O(4*N)
2. 处理的问题通常具有区间合并性，即一个区间（结点）的值由其子区间（其子结点）综合得出，如查询区间最大值/最小值等问题。
3. 采用了二分的思想方法，原数组被划分为单元区间存储在线段树的叶子结点中。
4. 因为线段树是完全二叉树，所以可以用数组来存放，注意数组大小至少要开到4*N。

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二、线段树基本操作

以下均以查询区间内最大值为例

1. 建树

int N,a[maxn],tree[4*maxn];

void build(int root,int l,int r)        //l:当前区间左边界   r:当前区间右边界
{
	if(l==r)                  //当l==r，说明该结点为叶子结点（单元区间）
	{
		tree[root]=a[l];
		return;               //返回
	}
	int mid=(l+r)/2;          //将当前区间划分为左右两个区间
	build(root*2,l,mid);      //向左子树递归
	build(root*2+1,mid+1,r);  //向右子树递归
	tree[root]=max(tree[root*2],tree[root*2+1]);    //回溯（合并区间）
}

2. 单节点更新

void updata(int root,int l,int r,int x,int num)   //x:更新结点在原数组中的位置  num:新值
{
	if(l==r)                 //此时l==r==x，找到了位置（对应的叶子结点）
	{
		tree[root]=a[l]=num; //该位置和该叶子结点更新为新值
		return;              //返回
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)               //x在左子树（左区间）
		updata(root*2,l,mid,x,num);
	else                     //x在右子树（右区间）
		updata(root*2+1,mid+1,r,x,num);
	tree[root]=max(tree[root*2],tree[root*2+1]);    //回溯（合并区间）
}

3. 区间查询

int query(int root,int l,int r,int ql,int qr)     //ql:查询区间左边界    qr:查询区间右边界
{
	if(ql<=l&&r<=qr)            //当前区间在查询区间内，直接返回该结点（区间）值
		return tree[root];
	if(r<ql||l>qr)              //当前区间与查询区间不相交
		return INT_MIN;         //返回一个足够小的值,从而保证回溯时不会被选择
	int mid=(l+r)/2;
	return max(query(root*2,l,mid,ql,qr),query(root*2+1,mid+1,r,ql,qr));
}

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三、模板例题

• HDU - 1754 （该题有多组输入…

AC代码：

#include<cstdio>
#include<climits>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+10;
int N,a[maxn],tree[4*maxn];
void build(int root,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		tree[root]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(root*2,l,mid);
	build(root*2+1,mid+1,r);
	tree[root]=max(tree[root*2],tree[root*2+1]);
}
void updata(int root,int l,int r,int x,int num)
{
	if(l==r)
	{
		tree[root]=a[l]=num;
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)
		updata(root*2,l,mid,x,num);
	else
		updata(root*2+1,mid+1,r,x,num);
	tree[root]=max(tree[root*2],tree[root*2+1]);
}
int query(int root,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
		return tree[root];
	if(r<ql||l>qr)
		return INT_MIN;
	int mid=(l+r)/2;
	return max(query(root*2,l,mid,ql,qr),query(root*2+1,mid+1,r,ql,qr));
}
int main()
{
	int M;
	while(~scanf("%d %d",&N,&M))
	{
		for(int i=1;i<=N;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		build(1,1,N);
		while(M--)
		{
			getchar();
			char C=getchar();
			int A,B;
			scanf("%d %d",&A,&B);
			if(C=='Q')
				printf("%d\n",query(1,1,N,A,B));
			else
				updata(1,1,N,A,B);
		}
	}	
	return 0; 
}