UVA 11428 GCD - Extreme (II)(G=∑ ∑GCD(i, j)(1<=i<N,i+1<=j<=N,欧拉函数)

最新推荐文章于 2022-01-23 13:14:58 发布

ramay7

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分类专栏：数论 UVa Online Judge 文章标签： UVA 数论欧拉函数

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本文详细解析了UVA11428GCD-Extreme(II)题目，通过数学分析推导出求解过程，并提供了C++实现代码。该题目的核心在于如何快速计算出所有小于等于n的数与n的最大公约数之和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：
UVA 11428 GCD - Extreme (II)
题意：

            i<N j≤N
给定n求：G = ∑    ∑   GCD(i, j) (n <= 4000000)
            i=1 j=i+1

分析：
令sum[n]为题式中答案。考虑递推
sum[n] = sum [n - 1] + gcd(1, n) + gcd(2, n) + gcd(3, n) + ... + gcd(n - 1, n)
令f[n] = gcd(1, n) + gcd(2, n) + gcd(3, n) + ... + gcd(n - 1, n).
设满足gcd(x, n) = t …①的x(x < n)的个数有h[t]个，显然x, t均是n的约数,又因为不包含gcd(n, n),所以t < n。
将等式①两边同除以t可得:gcd(x/t, n/t) = 1.所以h[t] = phi[n/t].
那么枚举n的约数可以得到:f[n] = ∑t*phi[[n/t]](t为n的所有约数) - n(相当于去掉gcd(n, n))需要预处理f[n]然后对于每个n有:sum[i] = sum[i - 1] + f[i],sum[1] = 0;递推即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cassert>
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 4000010;

int n;
ll phi[MAX_N], f[MAX_N], sum[MAX_N];

void GetPhi()
{
    memset(phi, 0, sizeof(phi));
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2;i < MAX_N; i++){
        if(phi[i] == 0){
            for(int j = i; j < MAX_N; j += i){
                if(phi[j] == 0) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

void init()
{
    GetPhi();
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for(int i = 1; i < MAX_N; i++){
        for(int j = i; j < MAX_N; j += i){
            f[j] += i * phi[j / i];
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d", &n) && n){
        sum[1] = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            sum[i] = sum[i - 1] + f[i] - i;
        }
        printf("%lld\n", sum[n]);
    }
    return 0;
}