求a[gcd(i,j)]之和

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莫比乌斯反演

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本文探讨了一个关于数论的问题，具体来说是如何计算特定数组中所有元素的组合的数学期望值，利用了莫比乌斯函数和数论知识来简化计算过程，并提供了一段C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定长度为 $N$ 的数组 $a$ ，求

\sum 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m a [g c d (i, j)]

$\sum_{1 \leq i\leq n, 1 \leq j\leq m} a[gcd(i,j)]$
数据范围：

1≤n,m≤N≤1051≤n,m≤N≤105 $1 \leq n,m \leq N \leq 10^5$ 。
设

f (n, m) = \sum i = 1 n \sum j = 1 m a [g c d (i, j)] = \sum d = 1 m i n (n, m) \sum i = 1 n \sum j = 1 m a [d] \times [g c d (i, j) = = d] = \sum d = 1 m i n (n, m) a [d] \times \sum i = 1 n d \sum j = 1 m d [g c d (i, j) = = 1]

$f(n,m) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma[gcd(i,j)] \\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma[d] \times [gcd(i,j)==d] \\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)} a[d] \times \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)==1]$
先知道莫比乌斯函数的定义：

\sum d | n μ (d) = 1 （ 当 n = 1 ） \sum d | n μ (d) = 0 （ 当 n > 1 ）

$\sum_{d|n}\mu(d)=1\ （当n=1）\\ \sum_{d|n}\mu(d)=0\ （当n>1）$
设

g (n, m) = \sum i = 1 n \sum j = 1 m [g c d (i, j) = = 1] = \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | g c d (i, j) μ (d) = \sum d = 1 m i n (n, m) μ (d) \times n d \times m d

$g(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)==1] \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\times \frac{n}{d} \times \frac{m}{d}$
则

f (n, m) = \sum d = 1 m i n (n, m) a [d] \times g (n d, m d)

$f(n,m)=\sum_{d=1}^{min(n,m)}a[d] \times g(\frac{n}{d},\frac{m}{d})$
复杂度计算：

∑ni=1ni≈O(nlogn)∑i=1nni≈O(nlogn) $\sum_{i=1}^n\frac{n}{i} ≈ O(nlogn)$

美团的笔试题给定了A数组，即 $a_1=p, a_i=(a_i+153) \% p$ 。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100007],mu[100007];
using ll = long long;
ll g(int n, int m)
{
    ll ret = 0;
    for(int i=1; i<=min(n, m); ++i)
        ret+=(ll)mu[i]*(n/i)*(m/i);
    return ret;
}
int main()
{
    int N,n,m,p;
    scanf("%d%d%d%d",&N,&n,&m,&p);
    ll ans = 0;
    mu[1]=1;
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        for(int j=2*i;j<=N;j+=i)
            mu[j]-=mu[i];
    a[1]=p;
    for(int i=2; i<=N; ++i)
        a[i]=(a[i-1]+153)%p;
    for(int i=1; i<=min(n, m); ++i)
    {
        ans+=(ll)a[i]*g(n/i,m/i);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}