#快速幂算法

顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
其基本原理如下：
用 a^b来做初步介绍：
我们首先把b转换为二进制数，则该二进制的第i位权为2^i-1
e.g. a¹¹=(a²)⁰+(a²)¹+(a²)³
而11的二进制是1011
so：11=2³*1+2²*0+2¹*1+2⁰*1
因此，我们有了以上的转换：a¹¹=(a²)⁰+(a²)¹+(a²)³

几点普及：

b & 1//取b二进制的最低位，判断和1是否相同，相同返回1，否则返回0，可用于判断奇偶
b>>1//把b的二进制右移一位，即去掉其二进制位的最低位

接下来我们用完整的代码块进行呈现

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
void quick_power(int x,int y){ 
	int ans=1;
	while(y){//如果y这个数还存在
		if(y&1==1) ans*=x;//当y and 1的值是1时，ans=ans*x
		x=x*x;
		y>>=1;//y向右移动一位（即最右边的一位删掉）
	}
	cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
	void quick_power(int x,int y);
	ll a,b;
	cin>>a>>b;
	quick_power(a,b);
	return 0;
}

以上就是快速幂算法的最基本常用的形式了，涉及二进制位运算，也是属于非递归版

接下来是取模快速幂算法
这一部分就跟数论关系很大了。取模也是数论问题中经常出现的。那么对于幂来取模，如果我们直接用模运算实际上是速度很慢的（因为试除法）。所以我们不妨在求快速幂的时候添加一些内容，从而得到结果。这个算法需要了解一下数论的一个定理：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

那么根据上面的定理可以推导出另一个定理：

(a^b) mod c = (a mod c)^b mod c

具体的证明这里不再赘述，主要是看第二个定理，恰好符合我们的小标题——快速幂取模。我们可以在求快速幂的时候，通过对底数取模的方式，不断缩小底数的规模。那么我们在上面快速幂的基础上，添加取模，就可以完成整个操作。

ll qp(ll a,ll b,ll c){
    ll ans = 1;
    ll base = a%c;
    while(b){
        if(b & 1) ans = (ans*base)%c;
        base = (base*base)%c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

如果能理解上面的快速幂算法，那么这个也会比较好理解了。定理里面，底数是要有一次取模运算的。这里我们在给base赋值的时候就运行了一次。那么对于后面的一次取模，我们实际上利用了分配率，即：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

我们求幂的本质仍然是求积。所以每次我们对base或者ans进行运算的时候，都必须使用一次分配率，所以都要mod c。