【数论】线性欧拉筛

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#素数筛选法

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博客讨论了找出小于n的所有素数的方法。传统嵌套两层循环的暴力方法复杂度高，在ACM中易超时。为简化复杂度，引入“素筛法”，其思路是依次挖掉素数的倍数，不为0的数即为素数，该方法复杂度远低于暴力法，值得学习。

const int maxn=1e5+5;
bool vis[maxn];
ll prime[maxn],cnt=0;
void getprime(ll maxn){
	for(ll i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;
		for(ll j=0;j<cnt&&prime[j]*i<maxn;j++){
			vis[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0) break; 
		}
	}
}

标题对于找出小于n的所有素数

通常我们会采用的较为暴力的方法是嵌套入2层循环，也就是第一层循环是为了依次服务于每一个<n的数i，第二层是为了判断这个i是否是素数

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
 //最为普通暴力的取小于n的素数的方法
     int n,i=2,j;
     cin>>n;
     while(i<=n)
     {
         int flag=1;//插入判断用的一个标志初始值为1
         for(j=2;j<=sqrt(i);j++)
         { 
              if(i%j==0) flag=0;//如果能整除就说明不是素数，所以我们给标志定为0
          }
          if(flag) printf("%d ",i);//如果标志还是为1说明其还是素数我们把它打印下来
          i++;
     }
     return 0;
}

以上是Libm大佬在MATLAB课上教我的一种very basic的方法。那天晚上结束后，我又想了一个很奇葩的写法，虽然代码长度很长，但是对于新学的小菜b如我可以试试，复杂度是o（n^3/2）

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
//较为复杂的运用数组的选素数法
    int judge(int n);
    int i,n,a[1000];
    cin>>n;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
       a[i]=i;//套用数组给每一个数都附上值 
       a[i]=judge(a[i]);//进入判断程序 ：a[i]的值和judge返回的值一样，若是合数，a[i]即为1 
       if(a[i]!=1) printf("%d ",a[i]);// 我们这里把素数的打印出来
    }
    return 0;
}
int judge(int n)
{
     int i,a=3;
     for(i=2;i<n;i++)//是对于每一个小于n的数进行取余处理 
     {
        if(n%i==0)
        {
           n=1;//倘若取余=0，则说明该n是个合数，所以我们姑且把合数统一定为1稍后处理 
          return n;//这里我们把辅助函数得出的n返回于main函数 
          break;
        }
     }
}

对于以上的方法我并不太推荐，又耗时又费力，其复杂度为o(n²)但是倘若闲的蛋疼或者猎奇创新，我倒是很支持试试。

——————————————步入正题—————————————————

以上的2种方法可见其复杂度之大，虽然易于理解，但是在acm中容易被TLE(超时），所以为了简化其复杂度，我们对于素数的提炼有了新的方法，叫做——“素筛法”。

大致思路（借鉴百度百科）：
<1> 先将1挖掉(因为1不是素数)。
<2> 用2去除它后面的各个数，把能被2整除的数挖掉，即把2的倍数挖掉。
<3> 用3去除它后面的各数，把3的倍数挖掉。
<4> 分别用5…各数作为除数去除这些数以后的各数。
上述操作需要一个很大的容器去装载所有数的集合，只要满足上述条件，即2的倍数大于1的全部置0，3的倍数大于1的全部置0，4的倍数大于1的全部置0……一直到这个数据集合的末尾，这样一来不为0的数就是素数了，然后按下标在里面进行查找就好了

从数论角度理解就是任何一个合数都可以用几个素数变换相加得到
For Example：
20=2³+2³+2²的平方
一言以蔽之就是把依次素数的n次积全部消掉

比较简单易懂的素筛如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
     int n;
     cin>>n;
     bool prime[n];
     for(int i=1;i<n;i++)
     {
         prime[i]=0;
     }
     prime[0]=1; 
     prime[1]=1;
     for(int i=2;i<n;i++) 
     {
          if(prime[i]==0)//先给数组里的每个单位赋值为0
          {
   	      for(int j=i*2;j<n;j=j+i)
              {
              prime[j]=1;//这里有个小技巧：因为其关于i的倍数	的值全部被篡改成1，所以以后就不回来参与循环了，下次遍历就不会遍历到它了，剩下遍历的只有质数了。 
              }
          }
     }
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
         if(prime[i]==0) printf("%d ",i);//打印出所有的质数 
     }
     return 0;
}

不得不说这种方法非常强大，愚蠢的我理解了半天才理解透，不过这里要提及一下的是bool型和int/long long型一样其作用是返回 True或False，实际在这个代码中你改为int也无伤大雅可以进行。

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn],cnt=0;
void getprime(int maxn){ 
     for(int i=2;i<maxn;i++){
         if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;//遍历给质数赋值vis[i]=0，数组prime[]专门来圈定所有需要表达的质数
         for(int j=0;j<cnt&&prime[j]*i<maxn ;j++){//将其依次的倍数筛选掉
             vis[prime[j]*i]=1;
             if(i%prime[j]==0) break;
         }
      } 
    for(int b=0;b<cnt;b++)
    {
        printf("%d ",prime[b]);
    }
 
}
int main()
{
     void getprime(int maxn);
     int n;
     getprime(cin>>n);
     return 0;
}

这串代码与上面那个代码类似。
其区别其实不大，上面的那串代码直接用i的值的输出质数，I非质数则不输出；下面那串代码动用数组，直接把质数的集合输入到一个新的数组中，最后把这个数组打印下来即可。
Easy to know 其复杂度远远比暴力低的多所以值得学习
小白第一次写博客，漏洞很多是必然的所以希望各位能多提宝贵意见
另外对Libm大佬和闫旭然大佬的帮助表示由衷感谢！
———2019/5/18夜于西北大学