【数论】费马小定理

最新推荐文章于 2025-02-17 21:56:04 发布
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分类专栏： 数论
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Rainfoo/article/details/102681801
本文深入解析了费马小定理的基本原理，指出若p为质数且a非p的倍数，则a^(p-1)模p等于1。利用此特性，可以通过快速幂算法求解a的逆元，即a^(p-2)，提供了一种高效求逆元的方法。

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介绍：
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
即a^(p-1)%p=1%p(p是素数，a不是p的倍数)。

用法：
这样的话 a*a^(p-2)=1
则a^(p-2)是a的逆元，这样我们要求a的逆元的话，就用快速幂quick_power(a,p-2)即可快速就出来

数论初步(费马小定理) - Happy 2004
仓鼠
08-02 447
Description Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to determine S modulo 29 (the rest of the division of S by 29). Take X =...
初等数论四大定理之——费马小定理
qq641542616的专栏
03-06 8787
皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），1601年生于法国，是一个律师和业余数学家。他在数学多个分支上都有贡献，成就甚至超过了许多职业的数学家，被誉为“业余数学家之王”。在费马的所有成就当中，最被大家津津乐道的莫过于“费马大定理”了。 皮埃尔·德·费马（1601-1665） 这个定理本身并不是很重要，但由于其证明太过于困难，直到被提出来35
ACM数论之费马小定理
swineherd的博客
08-26 834
费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。...
数论之费马小定理
YIU
08-08 1620
费马小定理： 假如p是素数，且(a,p)=1,那么a^(p-1)≡1(mod p) ps:a≡b(modm)表示a,b对模m的余数相同,如3三5(mod2)等 证明略 注意： 1、费马小定理只能在 gcd(a,p)=1 条件成立时使用 2、费马定理是，已知素数p，得到 。但是已知  并不能确定p是素数。 3、 若  ，则p一定为合数（费马定理的逆反命题）。 费马小定理在acm中的应...
费马小定理及推论　知识点
weixin_30877755的博客
08-27 267
如果p是质数 gcd(p,a)=1;那么 a^(p-1)≡1（mod p）　即 a^p≡a*a^(p-1)≡1*a(mod p); 引理１：　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数，且gcd(m,c)=1，则当a·c≡b·c(mod m)时，有a≡b(mod m)　 引理 2 ：　不会．．．　　 　想知道可以去看看　 　https://baike.bai...
【蓝桥杯】省赛无忧班（Python 组）第 2 期 16.7数论 费马小定理、逆元
Charlie482的博客
03-12 416
费马大定理证明论文原文.pdf
04-27
费马大定理的证明不仅对数论领域具有巨大的意义，也推动了模形式、椭圆曲线以及伽罗瓦表示等数学分支的发展。怀尔斯的工作为这些领域的研究提供了新的视角和工具。此外，费马大定理证明的过程也是一部数学上的侦探...
数论四大定理（欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理、威尔逊定理）
takeoff37808的博客
10-26 1009
假设a,b都是整数，如果n是一个正整数，且存在整数k使得a−b=k×n，则称a,b模n同余，记作a≡b(modn)。
费马小定理
2301_80215285的博客
02-17 838
例如，计算 ( \frac{b}{a} \pmod{p} )，可以转化为 ( b \cdot a^{-1} \pmod{p} )，其中 ( a^{-1} ) 是 ( a ) 的乘法逆元。例如，计算 ( a^b \pmod{p} )，可以利用 ( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} ) 来减少幂次。如果 ( a ) 与 ( p ) 不互质（即 ( \gcd(a, p) \neq 1 )），费马小定理不适用。换句话说，( a^{p-1} ) 除以 ( p ) 的余数是 1。
数论 - 逆元及费马小定理
fanyiningHH的博客
11-01 674
逆元 代码如下 模版题 题意 题解 费马小定理 代码如下 费马小定理推广欧拉定理 求欧拉函数值代码 筛出欧拉函数值的表代码逆元在费马小定理之前,我们先引入逆元的概念,考虑求解一个同余线性方程ax≡b(modm)ax\equiv b(mod m),要怎样求解这个方程呢,在此之前,我们先看一下求解一般的线性方程的方法,一般地,我们能将一个一元一次方程化为如下的形式:ax=bax=b,那么在a有倒数的情
数论整理之费马小定理
克克克克业业的学习记录
05-09 860
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a（p-1）≡1（mod p）。 题解： 这题考点是数列的极限以及费⻢⼩定理，⾸先我们对极限进⾏求解，得到 ,因为要取模，⽽除法不能直接 取模，所以我们需要使⽤逆元的概念，于是费⻢⼩定理 ：然后快速幂解决即可。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1e5...
费马费马小定理！
_Somethingwill
08-06 593
也是今天做题时才发现，在涉及模的取余运算时，如果有除法，不能直接除以一个数，这样得到的结果是不正确的，应该变成乘以它的乘法逆元。而逆元的计算可以使用扩展gcd    对照别人的代码才发现这个问题，而且我知道了在涉及取模运算的计算中，如果有除法，不能直接除以一个数，而应该变成乘以它的乘法逆元。关于逆元，不知道可以查查资料。 逆元的计算可以使用扩展gcd，但是我们在做acm的题目时候，只要
费马小定理：
weixin_41391865的博客
09-18 840
若p是质数，且a和p互质，则(a^(p-1))%p=1。 例如： 3和5互质，那么(3^(5-1))%5=(3^4)%5=81%5=1。 应用： 求逆元，时间复杂度O(log(n))。 因为(a^(p-1))%p=(axa^(p-2))%p=((a%p)x(a^(p-2))%p)%p=1， 由此得到：inv(a)=(a^(p-2))%p。 计算过程需要快速幂优化。...
数论学习之五——费马小定理（米勒罗宾判素）
qq_43704563的博客
10-16 1004
今天我们来介绍一下数论四大定理之三的费马小定理 费马小定理 如果ppp是素数，aaa是正整数，且gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1，则ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv1(mod\ p)ap−1≡1(mod p). 证明如下： p−1p-1p−1个整数a,2a,...,(p−1)aa,2a,...,(p-1)aa,2a,...,(p−...
hdu4704--sum--大数幂取模
ChenLI's blog
08-29 1705
做这道题学到了好多好多知识，想起了一些被遗忘的知识，收获还是很大的。 1.费马小定理的应用。首先说明一下什么是费马小定理：假如P是质数，且gcd(a,p)=1(即a，p互质)，则a^(p-1)===1（mod p）。    应用为：若P为质数，且gcd(a,p)=1，则可以计算 a^n mod p的值。(n为一个无法用long long存下的大数(若不为大数直接用快速幂其实就可以了))
判断素数（费马小定理）
mylespower的专栏
02-13 4968
<br />1）Sieve of Eratosthenes筛法<br /><br /><br />由于一个合数总是可以分解成若干个质数的乘积，那么如果把质数（最初只知道2是质数）的倍数都去掉，那么剩下的就是质数了。例如要查找100以内的质数，首先2是质数，把2的倍数去掉；此时3没有被去掉，可认为是质数，所以把3的倍数去掉；再到5，再到7，7之后呢，因为8，9，10刚才都被去掉了，而100以内的任意合数肯定都有一个因子小于10（100的开方），所以，去掉，2，3，5，7的倍数后剩下的都是质数了。<br /> 
c++费马小定理
最新发布
04-01
### 费马小定理及其在C++中的实现 费马小定理是一个重要的数论工具，在模运算中有广泛应用。它指出如果 \( p \) 是一个素数，而整数 \( a \) 不被 \( p \) 整除，则有： \[ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod}\ p) \] 由此可以推导出 \( a^{-1} \equiv a^{p-2} \ (\text{mod}\ p) \)，这使得我们可以通过快速幂算法高效地计算乘法逆元。 以下是基于费马小定理的 C++ 示例代码用于计算模意义下的乘法逆元[^1]： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂函数：计算 (base^exp) % mod 的结果 long long fast_pow(long long base, long long exp, long long mod) { long long result = 1; while (exp > 0) { if (exp & 1) { // 如果指数当前位为1 result = (__int128(result) * base) % mod; // 防止溢出 } base = (__int128(base) * base) % mod; // 平方并取模 exp >>= 1; // 右移一位 } return result; } // 计算 a 关于模 p 的乘法逆元 long long inverse_modulo(long long a, long long p) { return fast_pow(a, p - 2, p); // 使用费马小定理 } int main() { long long a, p; cout << "Enter the value of 'a' and prime number 'p': "; cin >> a >> p; if (a >= p || __gcd((int)a, (int)p) != 1) { cout << "Inverse does not exist or input is invalid." << endl; } else { long long inv = inverse_modulo(a, p); cout << "The modular multiplicative inverse of " << a << " modulo " << p << " is: " << inv << endl; } return 0; } ``` 上述代码实现了两个主要功能： 1. **快速幂**：`fast_pow` 函数利用二分的思想加速幂次计算。 2. **乘法逆元**：调用 `inverse_modulo` 来返回给定数值关于某个素数模的意义下的逆元[^2]。 #### 应用场景分析 费马小定理的应用广泛存在于多个领域，特别是在涉及模运算的情况下。例如： - 密码学中 RSA 加密系统的公钥和私钥生成过程需要用到大质数上的模逆元操作。 - 组合计数问题可能需要频繁进行分数形式的结果简化，此时也需要借助模逆元来完成除法模拟[^4]。 另外需要注意的是，当题目规模较大或者精度要求较高时，应考虑数据类型的选取以及防止中间变量越界等问题。以上程序采用了 `__int128` 类型以规避部分潜在风险。
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