POJ 2096Collecting Bugs(概率期望dp)

大牛博客：http://www.cnblogs.com/flipped/p/5230359.html

题意

有s个系统，n种bug，小明每天找出一个bug，可能是任意一个系统的，可能是任意一种bug，即是某一系统的bug概率是1/s，是某一种bug概率是1/n。

求他找到s个系统的bug，n种bug，需要的天数的期望。

分析

计算期望E=∑所有可能需要的天数*概率

找到s个系统n种bug，需要最少max（s，n）天，而可能的天数是无穷的，这样计算很复杂，复杂到算不了。

所以考虑dp，期望E=∑（昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望+1）*概率=∑（昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望）*概率 +1

一开始我想用dp[i][j]表示已经找到i种bug，j个系统里找到bug，的期望天数，但是这样不能推出来，由【i-1，j】【i，j-1】【i，j】【i-1，j-1】四种状态推的话，需要1天的概率我们知道，但是这四种情况的概率加起来不等于1，也就是还有需要2天3天...的情况，概率很复杂计算更复杂（回到上面的复杂去了）

所以要dp[i][j]表示已经找到i种bug，j个系统里找到bug，离目标还需要的期望天数。

好，如果明天找到一个bug。

它就可以转移到这里：

dp[i+1][j]　　不属于i种，属于j个系统之一。　　概率为p1=(n-i)/n* j/s 。 

dp[i][j+1]　　属于i种之一，不属于j个系统。   　概率为p2=(s-j)/s* i/n 

dp[i+1][j+1]  不属于i种，不属于j个系统。  　　 概率为p3=(n-i)/n*(s-j)/s 

dp[i][j] 　　   属于i种之一，属于j个系统之一。　 概率为p4=i/n* j/s 

也就是比如找到了新种类，已知系统的bug，那明天离到达目标的期望天数就是dp[i+1][j]，那就是今天还差dp[i+1][j]+1天。

dp[i][j]就是它找到的没有用的bug，那明天浪费了，那今天还差dp[i][j]+1天。今天和明天的dp[i][j]是一样的。

p1+p2+p3+p4=1，所以有下面这个式子。

dp[i][j]=dp[i+1][j]*p1+dp[i][j+1]*p2+dp[i+1][j+1]*p3+dp[i][j]*p4 +1

移项然后变成这样：dp[i][j]= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )  

 我们知道dp[n][s]=0，就是已经到达目标，还需要0天。然后逆推。

/**
    dp求期望的题。
    题意：一个软件有s个子系统，会产生n种bug。
    某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。
    求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。
    需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，
    属于某种类型的概率是1/n。
    解法：
    dp[i][j]表示已经找到i种bug，并存在于j个子系统中，要达到目标状态的天数的期望。
    显然，dp[n][s]=0，因为已经达到目标了。而dp[0][0]就是我们要求的答案。
    dp[i][j]状态可以转化成以下四种：
        dp[i][j]    发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中
        dp[i+1][j]  发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统
        dp[i][j+1]  发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统
        dp[i+1][j+1]发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统
    以上四种的概率分别为：
    p1 =     i*j / (n*s)
    p2 = (n-i)*j / (n*s)
    p3 = i*(s-j) / (n*s)
    p4 = (n-i)*(s-j) / (n*s)
    又有：期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +...
    所以：
    dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1;
    整理得：
    dp[i,j] = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 )
            = ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )
**/

#include<cstdio>
#define N 1005
double dp[N][N];
int main()
{
    int n, s;
    while(scanf("%d%d", &n, &s) != EOF)
    {
        dp[n][s] = 0;
        for(int i = n; i >= 0; i--)
            for(int j = s; j >= 0; j--)
            {
                if(i == n && j == s) continue;
                dp[i][j] = (dp[i+1][j]*(n-i)*j+dp[i][j+1]*i*(s-j) + dp[i+1][j+1]*(n-i)*(s-j) + n*s) / (n*s-i*j);
            }
        printf("%.4f",dp[0][0]);
    }
    return 0;
}