算法学习 | 期望dp+概率dp

最新推荐文章于 2025-06-15 18:04:51 发布

TTCharlotte

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分类专栏： ACM习题文章标签： DP 概率期望

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43791142/article/details/98974322

本文介绍了概率DP和期望DP的概念及其在解决算法问题中的应用。概率DP通过递推式从前向后计算，而期望DP则需从后向前求解。举例说明了如何运用这两种方法解决特定的数学问题，强调了公式推导和状态分析的重要性。

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~~(我一直以为我三四天前就发出来了)~~
最近集训的时候学习了概率与组合的内容，恰巧今天又学了概率dp和期望dp，个人觉得超级有意思，比其他dp有趣多了，借机分享一下自己的理解心得。（~~我才不会告诉你是因为别的dp太难了我学不会呜呜）~~

概率DP
今天qko学长讲课的时候对概率dp的概括特别到位：“概率dp一般求的是实际的结果。在dp过程中，当前状态是由所有子状态的概率共同转移而来，所以概率dp只是利用了dp的动态而没有规划（即只需转移无需决策）。”

~~其实至今我也对需要规划的dp迷迷糊糊，对需要决策的dp迷迷糊糊qaq，所以对一个式子走天下的概率dp好感有加。~~

讲道理我对概率dp的理解更像是高中时候的递推式，你要做的就是把递推式算出来
，从前向后（单纯概率dp）或者从后向前（期望dp）遍历算一遍即可。算法十分简单，代码无敌好写，比较不容易的就是递推式的推导。

例题（单纯概率dp）
传送门

Rimi learned a new thing about integers, which is - any positive integer greater than 1 can be divided by its divisors. So, he is now playing with this property. He selects a number N. And he calls this D.
In each turn he randomly chooses a divisor of D (1 to D). Then he divides D by the number to obtain new D. He repeats this procedure until D becomes 1. What is the expected number of moves required for N to become 1.

简述一下就是，给你一个数，用它的因子去除它，循环重复这个过程，直至这个数变成1，问需要多少次。
看起来问多少次是一个期望问题，但这个不是单纯的期望dp，举个例子，比如50。50的因子为{1，2，5，10，25，50}。显而易见，用因子去除一个数剩下的数还是他的因子，假如现在剩下的数是10，那么问题就转化为了把10变成1需要几次的问题。从这里我们可以看出，50需要的次数（我们记为E(50)）取决于1，2，5，10，25，50出现的次数。这就注定了我们的计算顺序是从前往后依次计算的。
假设数X的因子个数是为N，则
f(X) = 1/N * (f(X1) + f(X2) + … +f(X))
由于在此时f(X)在此时是未知的，我们呢就将式子化简一下。
最终化简成 f (X) = 1/(N-1) * (f(X1) + f(X2) + … +f(X(N-1)))
用一个函数在之前将左右的f(x)算好即可。
代码么得什么难度~

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

double f[100009];

void ans()
{
   
   
	f[1] = 0;
	for(int i=2;i<=100000;i++)
	{
   
    
		int cnt = -1;//保证最后加完是n-1  
		double sum =0