HDU3555Bomb数位DP入门题

最新推荐文章于 2021-01-22 20:25:28 发布

Rain722

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分类专栏：动态规划-数位DP

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本文介绍两种高效算法计算1至n范围内含49数字的个数。一种通过计算不含49数字个数间接得出结果，另一种使用状态转移方程直接计算。涉及动态规划、状态压缩等高级算法技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：求1~n的范围内含有49的数字的个数

思路一：

按照2089的思路，计算1~n的范围内不含有49的数字的个数。其中需要注意的一点是slove(n+1)，是计算[0,n]内不含有49的数字的个数，特别要注意包含了0。就比如solve(50)计算出来的是50，其实这50的数是从0-50开始的不包含49的50个数。所以最后答案是n+1-solve(n+1)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[30][30];
LL a[30];
void getdp()
{
    dp[0][0] = 1;
    for(LL i = 1; i < 25; i++)
    {
        for(LL j = 0; j < 10; j++)
        {
            if(j == 4)
            {
                for(LL k = 0; k < 10; k++)
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
                dp[i][j] -= dp[i-1][9];
            }
            else
            {
                for(LL k = 0; k < 10; k++)
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
            }
        }
    }
}
LL slove(LL num)
{
    a[0] = 0;
    while(num)
    {
        a[++a[0]] = num % 10;
        num /= 10;
    }
    a[a[0]+1] = 0;
    LL ans = 0;
    for(LL i = a[0]; i >= 1; i--)
    {
        for(LL j = 0; j < a[i]; j++)
            if(!(a[i+1] == 4 && j == 9))
                ans += dp[i][j];
        if(a[i+1] == 4 && a[i] == 9)
            break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    LL n;
    getdp();
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d", &n);
        LL k1 = slove(n+1);
        printf("%I64d\n", n - (k1-1));
    }
    return 0;
}

思路二：

来自http://www.cnblogs.com/liuxueyang/archive/2013/04/14/3020032.html

　　状态转移：

　　dp[i][0]代表长度为 i 并且不含有49的数字的个数；

　　dp[i][1]代表长度为 i 并且不含有49，但是最高位是9的数字的个数；

　　dp[i][2]代表长度为 i 并且含有49的数字的个数。

　　数组 a[i] 从低位到高位存储 n 的每一位数字。

　　则：dp[i][0] = dp[i-1][0] * a[i] - dp[i-1][1]; 表示长度为 i 的不含有49的数字的个数等于长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数*当前的数字，因为这个位置可以填0~a[i] - 1，然后再减去长度为 i - 1 的最高位是9的数字的个数，因为如果长度为 i - 1 的最高位是9的话，那么高一位就不能填4了，否则就组成了49。

　　　　dp[i][1] = dp[i-1][0]; 表示长度为 i 的并且不含有49同时最高位是9的数字的个数等于，长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数，因为只要在它的高一位加上一个9就可以了。

　　　　dp[i][2] = dp[i-1][2] * a[i] + dp[i-1][1]; 表示长度为 i 的含有49的数字的个数等于，长度为 i - 1 的数字的个数*当前的数字，再加上长度为 i - 1 的并且不含有49同时最高位是9的数字的个数，因为这个时候，只要在高一位加上一个4就可以了，这样在最高的两位就组成了一个49。

　　做法是从数字的高位向低位扫描，对于第 i 位，

　　首先加上长度为 i - 1 的符合条件的数字个数；
　　再讨论以前是不是出现过49，如果出现过，就要再追加上长度为 i - 1 的不符合条件的数字的个数，因为以前已经有49了；
　　如果没有出现过，就要判断这一位是不是大于4呢，如果大于4，就要再追加上长度为 i - 1 的不含有49但是最高位是9的数字的个数，因为这个时候可以再这一位填4，因为它大于4嘛~；至于为什么不是等于是4，还是前面一篇文章中说的，枚举只是枚举到小于该位的数，当枚举下一位时候如果该位本来就是4，那么4自然就会被固定住。
　　然后就是判断一下，当前位和上一位是不是满足49，如果满足，标记出现了49了！为以后的判断做准备。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long dp[25][3];
void Init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 22; i++)
    {
        dp[i][0] = dp[i-1][0]*10 - dp[i-1][1];
        dp[i][1] = dp[i-1][0];
        dp[i][2] = dp[i-1][2]*10 + dp[i-1][1];
    }
}
long long solve(long long n)
{
    long long a[25], len = 0, ans = 0, flag = 0;
    while(n)
    {
        a[++len] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    a[len+1] = 0;
    for(int i = len; i >= 1; i--)
    {
        ans += dp[i-1][2]*a[i];
        if(flag)
            ans += dp[i-1][0]*a[i];
        if(!flag && a[i] > 4)
            ans += dp[i-1][1];
        if(a[i+1] == 4 && a[i] == 9)
            flag = 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    long long n;
    scanf("%d", &T);
    Init();
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d", &n);
        printf("%I64d\n", solve(n+1));
    }
    return 0;
}