数位dp专题

最新推荐文章于 2025-06-19 10:15:46 发布

hipamp

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分类专栏： # 数位dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/iamhpp/article/details/112590653

本文主要介绍了数位动态规划（DP）的概念和应用场景，包括数位DP的两种模板：带状态limit和不带状态limit。通过多个题目实例解析，如[hdu2089]不要62、[hdu3555] bomb等，详细阐述了如何使用数位DP解决数位限制的计数、求和等问题，总结了数位DP的解题思路和常见题型。

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前言

本篇博客目的是给自己总结复习用，而不是给萌新学习用滴。萌新能不能看得懂需要看造化=.=，毕竟数位 $d p$ 还是有点难理解的。

概括

数位 $d p$ ，是用来解决一些带有数位上的限制的计数问题的。常见的有问区间 $[L, R]$ 中满足某种数位限制的数的个数，或者求数对的对数等等，也可以用来求和。一般是用 $[0, R]$ 的值减去 $[0, L - 1]$ 的值。
常常设 $d p [p o s] [s t a]$ 表示从高到低来到了第 $p o s$ 位，前面的状态为 $s t a$ 的数的个数。
在 $d f s$ 过程中，会有一个参数 $l i m i t$ ，表示当前数位的枚举范围是不是有限制。
只有当前面的每个数位都取到最大值时， $l i m i t$ 才会等于 $1$ 。
$l i m i t$ 等于 $0$ 的时候，说明从这一位往后，每个数位都可以取 $[0, 9]$ ，这里产生了大量重复或等价的状态，通过记忆化来压缩起来。
数位 $d p$ 的时间复杂度为 $O (状态数 * 转移复杂度)$ 。

数位 $d p$ 的模板

数位 $d p$ 的 $d p$ 数组可以分为记录 $l i m i t$ 和不记录的，当统计的是数对的时候，记录 $l i m i t$ 会使复杂度降低。

状态中带有 $l i m i t$ 的

这种 $d p$ 数组每次都要进行 $m e m s e t$ ，因为每个数的数位限制不同。

在这里插入图片描述

状态中不带 $l i m i t$ 的

这种 $d p$ 数组可以适用于多组数据，因为状态是普遍的，不是针对单独一个限制的。

在这里插入图片描述

入门题 [hdu2089]不要62

求 $[L, R]$ 中数字中不带 $4$ 和 $62$ 的数的个数。
$d f s$ 的过程中，传入几个参数：当前到了第几位，前面一位是不是 $6$ ，当前数位有没有限制。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[10][2], a[10];

int dfs(int pos, int f1, int f2){
   
   
    if(!pos) return 1;
    if(!f2 && dp[pos][f1] != -1) return dp[pos][f1];
    int res = 0, up = f2? a[pos]: 9;
    for(int i = 0; i <= up; i++){
   
   
        if(i == 4 || (f1 && i == 2)) continue;
        res += dfs(pos - 1, i == 6, f2 && i == up);
    } 
    if(!f2) dp[pos][f1] = res;
    return res;
}

int f(int x){
   
   
    int tot = 0;
    while(x) a[++tot] = x % 10, x /= 10;
    return dfs(tot, 0, 1);
}
int main(){
   
   
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    int l, r;
    while(cin >> l >> r){
   
   
        if(!l && !r) break;
        cout << f(r) - f(l - 1) << '\n';
    }
    return 0; 
}

[hdu3555] bomb

求 $[L, R]$ 中包含 $49$ 的数的个数。
$f_1$ 表示上一位是不是 $4$ , $f_2$ 表示枚举是不是有限制， $f_3$ 表示前面是否已经出现 $49$ 了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

void debug_out(){
   
   
    cerr << endl;
}
template<typename Head, typename... Tail>
void debug_out(Head H, Tail... T){
   
   
    cerr << " " << to_string(H);
    debug_out(T...);
}
#ifdef local
#define debug(...) cerr<<"["<<#__VA_ARGS__<<"]:",debug_out(__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) 55
#endif

LL dp[22][2][2];
int a[22];
LL dfs(int pos, int f1, int f2, int f3){
   
   
	//debug(pos, f1, f2, f3);
	if(!pos) return f3;
	if(!f2 && dp[pos][f1][f3] !=