指数族分布（2）：矩母函数、累积量生成函数

指数族分布（2）

指数族分布（1）：
[https://blog.youkuaiyun.com/RSstudent/article/details/127465224?spm=1001.2014.3001.5501]

典型形式指数族分布在矩、累积量的计算方面存在方便之处，包括期望、方差。

定义：令$T\in {\mathbb{R}}^s$，Moment generating function（MGF） of $T$定义为
$$M_T(u)=E[e^{uT}]$$
累计生成函数CGF：
$$K_T(u)=log{M}_T(u)$$
引理:

如果MGF$M_X(u)$和$M_Y(u)$对于随机向量$X$和$Y$有限 ,且一致在某个非空集合的内点$u$，则$P_X=P_Y$

$T_1,\cdots ,T_s$的幂次的期望称为$T$的矩
$${\alpha }_{r_1,r_2,\cdots ,r_s}=E[T_1^{r_1}\times T_2^{r_2}\times \cdots \times T_s^{r_s}]$$
通过在$u=0$点求取MGF的导数，可以获得这些矩。

定理1

若$M_T$在远点的某个邻域内有限，且在原点具有个各阶连续导数
$${\alpha }_{r_1,r_2,\cdots ,r_s}=\partial u_1^{r_1}$$