贝叶斯风险

贝叶斯风险

今天介绍贝叶斯风险。最近读Lehmann的Theory of Point Estimation，读的举步维艰，很多地方还要查资料予以补充才能看懂。

Definition 1. 估计$\hat{\theta }$风险（risk）定义为:
$$R(\theta ,\hat{\theta })={\mathbb{E}}_{\theta }[L(\theta ,\hat{\theta })]={\int }_{x}L(\theta ,\hat{\theta })f(x;\theta )dx$$
$L(\theta ,\hat{\theta })$为代价函数，一般选用凸的损失函数，例如平方损失。其中$\hat{\theta }$是估计器，$f(x;\theta )$是概率密度函数。

当选用平方损失的时候，风险就是均方误差$MSE$：
$$R(\theta ,\hat{\theta })={\mathbb{E}}_{\theta }[(\theta -\hat{\theta }{)}^2]$$
此时，$R(\theta ,\hat{\theta })$是参数$\theta$的函数。如果要以$MSE$比为目标寻找一个估计，最直观的想法在$\theta$的每一个点上都达到最小值，称为一致风险最优性准则，这必须在某些限制下进行，例如无偏性。

bayes risks是指如下风险：
$${\int }_{\Theta }R(\theta ,\hat{\theta })d\Lambda (\theta )$$
其中，$\Lambda$是参数的先验分布函数，满足$\int d\Lambda (\theta )=1$。

我理解的贝叶斯风险，是在参数先验分布的平均意义上估计的均方误差。

Theorem 1. $\theta$的先验分布为$f(\theta )$;给定$\Theta =\theta$，$X$的分布是$P_{\theta }(X)$,密度表示为$f(x|\theta )$。若（1）存在一个风险有限的估计${\delta }_0(x)$;（2）对（几乎）所有的$x$，都存在${\delta }_{\Lambda }(x)$,使得
$${\int }_{\theta }L(\theta ,\hat{\theta })f(\theta |x)d\theta$$
达到极小值，则${\delta }_{\Lambda }(x)$是一个贝叶斯估计(使贝叶斯风险最小的估计)。

证明：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Theta }R(\theta ,\hat{\theta })d\Lambda (\theta )& ={\int }_{\theta }{\int }_{x}L(\theta ,\delta (x))f(x|\theta )dxf(\theta )d\theta \\ & ={\int }_x{\int }_{\theta }L(\theta ,\delta (x))f(\theta |x)d\theta f(x)dx\end{array}$$
如果能够使得对$\forall x$，${\int }_{\theta }L(\theta ,\hat{\theta })f(\theta |x)d\theta$都最小，则${\mathbb{E}}_x[{\int }_{\theta }L(\theta ,\hat{\theta })f(\theta |x)d\theta ]$也最小，从而贝叶斯风险最小。

这个定理导出了对任意给定$x$,应该选择怎样的估计器。

Example 1. 当$L(\theta ,\delta (x))=(\theta -\delta (x){)}^2$时，$\forall x$，最小化贝叶斯风险的贝叶斯估计器是
$$\delta (x)=E[\theta |x]$$
这是后验分布均值。其实当我们用MAP（最大后验估计）时，用的是后验众数，而不是后验均值，因此MAP并不是贝叶斯估计，也就没有最优化贝叶斯风险。