旋转矩阵推导与应用：点云处理

旋转矩阵是在三维空间中表示旋转变换的一种常用工具。它可以用于将一个点或者一组点绕某个轴旋转一定角度。在计算机视觉和图形学中，旋转矩阵被广泛应用于点云处理，例如点云的对齐、姿态估计以及形状匹配等任务。本文将介绍旋转矩阵的推导过程，并提供相应的源代码实现。

旋转矩阵推导

假设我们有一个三维向量 v = [x, y, z]，我们希望将其绕某个轴旋转 θ 角度。为了实现这个旋转，我们可以使用旋转矩阵 R，它是一个 3x3 的矩阵，可以表示三维空间中的旋转变换。

旋转矩阵的推导涉及到向量的点乘和叉乘运算。首先，我们需要找到旋转轴的单位向量 u = [u_x, u_y, u_z]，它表示旋转轴的方向。然后，我们可以使用罗德里格斯公式（Rodrigues’ rotation formula）推导旋转矩阵。

罗德里格斯公式如下：

R = I + sin(θ)K + (1 - cos(θ))K^2

其中，R 是旋转矩阵，I 是单位矩阵，θ 是旋转角度，K 是反对称矩阵。反对称矩阵 K 的定义如下：

   |  0  -k_z  k_y |

K = | k_z 0 -k_x |
| -k_y k_x 0 |

k_x、k_y、k_z 是旋转轴 u 的坐标分量。

根据罗德里格斯公式࿰