二次规划及qpoases简要介绍

qpoases

这个库函数本来被设计来作为MPC的应用，但是也是一个可靠的QP算法求解方案。作为求解参数二次规划的有效集算法。
使用说明书

QP问题

二次规划问题

带有二次型目标函数和约束条件的最优化问题。

基础概念

二次型：函数中最高次为2次的函数。用矩阵可以记为$f=x^T\cdot A\cdot x$;
正定矩阵 Positive Definite Matrix：，设在二次型$f=x^T\cdot A\cdot x$中，对于任何$x\ne 0$,都有$f(x)>0$,称$f$为正定二次型，称对称矩阵A为正定的;如果对于任何$x\ne 0$,都有$f(x)<0$,称$f$为负定二次型，称对称矩阵A为负定的。
Hesse矩阵（海塞矩阵）：常用于牛顿法解决最优化问题。是一个类似与雅可比矩阵的概念，不过其是二阶导数的矩阵，但是雅可比矩阵是一阶导数的矩阵。如果函数f是连续的，则它的Hesse矩阵一定是对称阵。 得到函数f的Hesse矩阵有什么用呢？Hesse可以用于多元函数极值的判定。
在清华的课程中也讲到了二次规划的问题：

使用qpOASES求解步骤

使用说明翻译可参见这篇博客
求解形式：

以下文档都是从3.2版本的用户说明书中提取的简要部分，如果需要详细的还请阅读说明书：

1. 首先实例化一个QProblrm类的对象
   QProblem( int_t nV, int_t nC ); nv表示变量的个数，nc表示二次约束的的个数。
   ex:QProblem example( nV,nC );
2. 初始化对象求求解。
   
   H：hessian矩阵 $H\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}\mathbf{V}\times \mathbf{n}\mathbf{V}}$
   g：梯度向量？$g\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}\mathbf{V}}$
   A：约束矩阵 $A\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}\mathbf{C}\times \mathbf{n}\mathbf{V}}$
   lb ub：上下限边界向量 $lb,ub\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}\mathbf{V}}$
   lbA ubA：上下限约束向量 $lb,ub\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}\mathbf{C}}$。 这个向量中不仅包含了不等式，也包括了等式的约束,将上限和下限设置为相同数值即可表示为等式约束！
   nWSR： 最大迭代次数
   cputime：如果输入不为空，就会输出整个初始化和求解所花的时间。
   如果那一项是没有的，就看可以传入一个空指针。解完后所有的向量需要自己释放内存。但是矩阵H A不需要。

使用qpOASES求解方式

QP问题分为许多种，有一些没有等式约束项，一些没有不等式约束项。因此在qpOASES中也有好几个方法来解决不同的问题，相比之下针对不同问题选择不同方法的效率会更高：

针对不同的种类的详细用法可以参考/examples/example**.cpp
同时这个库可以解决线性规划，但是效率极低！

qpOASES其余设置

• 可以返回各项参数的数值
• 可以定义 Options myOptions; qp.setOptions( myOptions );设定需要设置的各参数
• ex:

Options myOptions;
myOptions.setToMPC( );
myOptions.printLevel = PL_LOW;
qp.setOptions( myOptions );

可以通过指定用于评估约束的函数来提升速度，但是可能这是naive的
能够设置最大时间限制。因此由于时间测量的不准确，实际的总CPU时间可能比允许的CPU时间稍高一些。