6.1 频率域滤波之低通滤波

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原创 2024-08-06 21:57:55 2.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

数字图像处理学习笔记5：频率域滤波1（傅里叶频谱图，低通滤波-平滑，高通滤波-锐化）文章目录前言一、傅里叶变换：傅里叶频谱图二、使用步骤1.引入库2.读入数据总结前言 频率域滤波步骤：一、傅里叶变换：傅里叶频谱图二、使用步骤 1.引入库代码如下（示例）： import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns import warnings warnings.filterwarnings('ignore') import ssl ssl._c. 阅读详情

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

前言

1. 频率域增强的一般过程

频域率增强的一般过程如下：
$f(x,y)\xrightarrow[傅里叶变换]{DFT} F(u,v)\xrightarrow[滤波]{H(u,v)}F(u,v)H(u,v)\xrightarrow[傅里叶逆变换]{IDFT}g(x,y)$
我用大白话解释就是：先用傅里叶变换将图像变换到频率域（也就是频谱图），然后针对频谱图做图像变换（使用滤波器），使用滤波器进行图像变换后通过傅里叶逆变换将图像变换回空域图（也就是目标图像）。

频域特征与空域特征的对应关系：

频普中的低频分量对应了图像中的平滑区域。
频谱中的高频分量对应了图像中的边缘和变化剧烈区域。

实在抱歉，由于本人学艺不精，此处就不对傅里叶变换进行讲解，各位观众可以查看其它资料

频谱图的绘制代码和效果如下所示：

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def drawCircleOnImage(image, radiusLst):
    """
    Draw multiple concentric circles on an image
    :param image: raw image
    :param radiusLst: Radii of concentric circles (Here is a list with multiple radii).
    :return: Returns an image drawn on concentric circles.
    """

    center = (image.shape[0] // 2, image.shape[1] // 2)
    color = (0, 0, 0)
    thickness = 1

    for radius in radiusLst:
        cv.circle(image, center, radius, color, thickness)


def generateSpectrumImage(image):
    # 对原图像进行傅里叶变换，生成频谱图
    dft = cv.dft(np.float32(image), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

    # 将频谱图上的低频移至中心
    f_shift = np.fft.fftshift(dft)

    # 生成可以显示的频谱图
    f_img = 20 * np.log(cv.magnitude(f_shift[:, :, 0], f_shift[:, :, 1]) + 1)
    drawCircleOnImage(f_img, [10, 20, 40, 80, 160, 460])

    # 将低频从中心移回原处
    i_shift = np.fft.ifftshift(f_shift)

    # 进行计算傅里叶逆变换，将频谱图还原回空间域图像
    dst = cv.idft(i_shift)

    # 计算还原图像的幅度，并进行归一化处理
    dst = cv.magnitude(dst[:, :, 0], dst[:, :, 1])

    return f_img, dst


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0601.tif', 0)
    img1, img2 = generateSpectrumImage(img)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 10))
    imagesLst = [img, img1, img2]
    labelLst = ["Original Image", "Radius=10", "Radius=20"]

    for i in range(3):
        plt.subplot(1, 3, i + 1), plt.title(labelLst[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imagesLst[i], cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

在这里插入图片描述
如上图所示：我们先将空域图(原始图像)转到频域图，然后将频域图有转为空域图，在经过一次变换后，图像几乎没有发生变化。

2. 低频滤波示例分析

2.1 理想低通滤波

在以原点为中心的一个园内无衰减的通过所有频率，而在这个圆外 “截止” 所有频率的二维低通滤波器，称为 理想低通滤波器（ILPF）。

2.1.1 原理说明

**理想低通滤波器（ILPF）**的传递函数规定如下： $\left\{ \begin{aligned} 1, &\quad D(u,v) \leq D_0 \\ 0, &\quad D(u,v) > D_0\\ \end{aligned} \right.$ $式中，D_0是一个正常数，D(u,v)是频率域中的点(u,v)到P \times Q频率矩形中心的距离，即：$ $\left[ \left(u-\frac{P}{2}\right)^2 + \left(v-\frac{Q}{2}\right)^2 \right]^\frac{1}{2}$ $式中\quad P,Q \quad可以理解成滤波器的大小$
在这里插入图片描述
如上图所示：理想一词表示在半径为 $D_0$ 的圆内，所有频率都会无衰减地通过，而在该圆之外的所有频率则完全被衰减（滤除）。

2.1.2 示例代码

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def genIdealLowpassFilters(radius, shape):
    """
    Generate an ideal low pass filter
    Those inside the circle are marked 1 and those outside are marker 0.
    :param radius: The radius of the circle.
    :param shape: The shape of the mask (the mask is also an image)
    :return:
    """
    mask = np.zeros(shape, np.uint8)

    center = np.array([shape[0] // 2, shape[1] // 2])
    for i in range(shape[0]):
        for j in range(shape[1]):
            point = np.array([i, j])
            distance = np.linalg.norm(point - center)
            if distance <= radius:
                # print(distance, radius)
                mask[i][j] = 1

    return mask


def imageSmoothing(image, radius):
    """
     Image smoothing in the frequency domain using low pass filters.
    :param image: raw image
    :param radius: A parameter used to generate the low pass filters.
    :return: smoothed image
    """

    # 对原图像进行傅里叶变换，生成频谱图
    dft = cv.dft(np.float32(image), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

    # 将频谱图上的低频移至中心
    f_shift = np.fft.fftshift(dft)

    # 生成低频滤波器
    mask = genIdealLowpassFilters(radius, (image.shape[0], image.shape[1], 2))
    f = f_shift * mask  # 将掩模与傅里叶变化后的图像相乘，保留四周部分，即保留低频部分

    # 将低频从中心移回原处
    i_shift = np.fft.ifftshift(f)

    # 进行计算傅里叶逆变换，将频谱图还原回空间域图像
    dst = cv.idft(i_shift)

    # 计算还原图像的幅度，并进行归一化处理
    dst = cv.magnitude(dst[:, :, 0], dst[:, :, 1])

    return dst


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0601.tif', 0)

    img1 = imageSmoothing(img, 10)
    img2 = imageSmoothing(img, 20)
    img3 = imageSmoothing(img, 40)
    img4 = imageSmoothing(img, 80)
    img5 = imageSmoothing(img, 160)
    img6 = imageSmoothing(img, 360)
    img7 = imageSmoothing(img, 460)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 10))
    imagesLst = [img, img1, img2, img3, img4, img5, img6, img7]
    labelLst = ["Original Image", "Radius=10", "Radius=20", "Radius=40", "Radius=80",
                "Radius=160", "Radius=320", "Radius=460"]

    for i in range(8):
        plt.subplot(2, 4, i + 1), plt.title(labelLst[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imagesLst[i], cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

2.1.3 示例效果

在这里插入图片描述

如上图所示：

当半径 Radius=10 的时候，图像的大部分高频部分（即图像的细节）包含在被滤波器去除的那部分中，因此导致图像的模糊非常严重
随着半径增大，也就是可以通过的频率越来越多，图像的模糊也越来越弱
当 Radius=20 和 Radius=40 的时候可以看出图像有很明显的振铃现象，但是随着被滤除的高频内容越来越少，振铃效应也变得越来越弱，当 Radius = 460 时，振铃效应几乎无法觉察

2.2 高斯低通滤波

在以原点为中心的一个圆内以衰减的方式通过所有频率，并且衰减的方式符合高斯分布，而在这个圆外 “截止” 所有频率的二维低通滤波器，称为 高斯低通滤波器。

2.2.1 理论基础

**高斯低通滤波器（GLPF）**低通滤波器的传递函数有如下形式： $H(u,v)=e^{\frac{-D^2(u,v)}{2\sigma^2}} \quad 令\quad\sigma=D_0\quad可得：$ $H(u,v)=e^{\frac{-D^2(u,v)}{2D_0^2}}$
我们先分析下图：
在这里插入图片描述
从上图以及推导公式中可以看出，当 $D (u, v) = 0$ 时， $H (u, v) = 1$ 此时原点处的频率全通过（无需衰减），而随着 $D (u, v)$ 不断增大， $H (u, v)$ 开始减少，但 $0 < H (u, v) < 1$ ，此时的频率以衰减的方式通过，如上图中的 $b$ 图。

2.2.2 示例代码

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def genGaussianLowpassFilters(sigma, shape):
    """
    Generate a gaussian low pass filter
    :param sigma: The standard deviation of the gaussian filter.
    :param shape: The shape of the mask (the mask is also an image)
    :return: Returns a gaussian low pass filter.
    """

    mask = np.zeros(shape, np.float32)
    rows, cols = shape[0], shape[1]
    center_x, center_y = rows // 2, cols // 2
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            distance = (i - center_x) ** 2 + (j - center_y) ** 2
            mask[i][j] = np.exp(-distance / (2 * sigma ** 2))
    return mask

def imageSmoothing(image, sigma):
    """
     Image smoothing in the frequency domain using the gaussian low pass filters.
    :param image: raw image
    :param sigma: The standard deviation of the gaussian filter.
    :return: smoothed image
    """

    # 对原图像进行傅里叶变换，生成频谱图
    dft = cv.dft(np.float32(image), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

    # 将频谱图上的低频移至中心
    f_shift = np.fft.fftshift(dft)

    # 生成低频滤波器
    mask = genGaussianLowpassFilters(sigma, (image.shape[0], image.shape[1], 2))
    f = f_shift * mask  # 将掩模与傅里叶变化后的图像相乘，保留四周部分，即保留低频部分

    # 将低频从中心移回原处
    i_shift = np.fft.ifftshift(f)

    # 进行计算傅里叶逆变换，将频谱图还原回空间域图像
    dst = cv.idft(i_shift)

    # 计算还原图像的幅度，并进行归一化处理
    dst = cv.magnitude(dst[:, :, 0], dst[:, :, 1])

    return dst


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0603.tif', 0)

    img1 = imageSmoothing(img, 10)
    img2 = imageSmoothing(img, 20)
    img3 = imageSmoothing(img, 40)
    img4 = imageSmoothing(img, 80)
    img5 = imageSmoothing(img, 160)
    img6 = imageSmoothing(img, 320)
    img7 = imageSmoothing(img, 460)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 10))
    imagesLst = [img, img1, img2, img3, img4, img5, img6, img7]
    labelLst = ["Original Image", "Sigma=10", "Sigma=20", "Sigma=40", "Sigma=80",
                "Sigma=160", "Sigma=320", "Sigma=460"]

    for i in range(8):
        plt.subplot(2, 4, i + 1), plt.title(labelLst[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imagesLst[i], cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

2.2.3 示例效果

在这里插入图片描述
与ILPF相比，GLPF实现的平滑要稍微少一些，但是GLPF不会出现振铃效应。

2.3 巴特沃斯低通滤波

在以原点为中心的一个圆内以衰减的方式通过所有频率，并且衰减的方式符合一定条件的（下面会讲述）分布，而在这个圆外 “截止” 所有频率的二维低通滤波器，称为 巴特沃斯低通滤波器。

2.3.1 理论基础

巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为： $H(u,v)=\frac{1}{1+\left[\frac{D(u,v)}{D_0}\right]^{2n}}$ 我们先分析下图：
在这里插入图片描述
从上图可以看出：

当我们使用较高的 $n$ 时， $B L PF$ 可以逼近 $I L PF$ 的特性
当我们使用较低的 $n$ 时， $B L PF$ 可以逼近 $G L PF$ 的特性

2.3.2 示例代码

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def genButterworthLowpassFilters(n, D0, shape):
    """
    Generate a butterworth low pass filter
    :param n: The param of the transfer function
    :param D0: The cut-off frequency of the low pass filter
    :param shape: image shape
    :return: A butterworth low pass filter
    """
    mask = np.zeros(shape, np.float32)
    rows, cols = shape[0], shape[1]
    center_x, center_y = rows // 2, cols // 2
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            distance = np.sqrt((i - center_x) ** 2 + (j - center_y) ** 2)
            mask[i, j] = 1 / (1 + (distance / D0) ** (2 * n))
    return mask


def imageSmoothing(image, n, D0):
    """
     Image smoothing in the frequency domain using the butterworth low pass filters.
    :param image: raw image
    :param n: The param of the transfer function
    :param D0: The cut-off frequency of the low pass filter
    :return: smoothed image
    """

    # 对原图像进行傅里叶变换，生成频谱图
    dft = cv.dft(np.float32(image), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

    # 将频谱图上的低频移至中心
    f_shift = np.fft.fftshift(dft)

    # 生成低频滤波器
    mask = genButterworthLowpassFilters(n, D0, (image.shape[0], image.shape[1], 2))
    f = f_shift * mask  # 将掩模与傅里叶变化后的图像相乘，保留四周部分，即保留低频部分

    # 将低频从中心移回原处
    i_shift = np.fft.ifftshift(f)

    # 进行计算傅里叶逆变换，将频谱图还原回空间域图像
    dst = cv.idft(i_shift)

    # 计算还原图像的幅度，并进行归一化处理
    dst = cv.magnitude(dst[:, :, 0], dst[:, :, 1])

    return dst


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0603.tif', 0)

    img1 = imageSmoothing(img, 1,10)
    img2 = imageSmoothing(img, 1,20)
    img3 = imageSmoothing(img, 1,40)
    img4 = imageSmoothing(img, 1,80)
    img5 = imageSmoothing(img, 1,160)
    img6 = imageSmoothing(img, 1,320)
    img7 = imageSmoothing(img, 1,460)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 10))
    imagesLst = [img, img1, img2, img3, img4, img5, img6, img7]
    labelLst = ["Original Image", "n=1 D0=10", "n=1 D0=20", "n=1 D0=40", "n=1 D0=80",
                "n=1 D0=160", "n=1 D0=320", "n=1 D0=460"]

    for i in range(8):
        plt.subplot(2, 4, i + 1), plt.title(labelLst[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imagesLst[i], cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

2.3.3 示例效果

在这里插入图片描述
通过与上面两种低频滤波器对比分析可得：

从模糊效果上看， $B L PF$ 介于 $I L PF$ 和 $G L PF$ 之间，小于 $I L PF$ ，但大于 $G L PF$
从振铃效应上看，当 $n = 1$ 时，没有振铃，此时 $B L PF$ 逼近 $G L PF$ ，当 $n$ 逐渐增大时，振铃效应也随之强烈，此时 $B L PF$ 逼近 $I L PF$