6.1 频率域滤波之低通滤波

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

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前言

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1. 频率域增强的一般过程

频域率增强的一般过程如下：
$$f(x,y)\underset{傅里叶变换}{\overset{DFT}{\to }}F(u,v)\underset{滤波}{\overset{H(u,v)}{\to }}F(u,v)H(u,v)\underset{傅里叶逆变换}{\overset{IDFT}{\to }}g(x,y)$$
我用大白话解释就是：先用傅里叶变换将图像变换到频率域（也就是频谱图），然后针对频谱图做图像变换（使用滤波器），使用滤波器进行图像变换后通过傅里叶逆变换将图像变换回空域图（也就是目标图像）。

频域特征与空域特征的对应关系：

• 频普中的低频分量对应了图像中的平滑区域。
• 频谱中的高频分量对应了图像中的边缘和变化剧烈区域。

实在抱歉，由于本人学艺不精，此处就不对傅里叶变换进行讲解，各位观众可以查看其它资料

频谱图的绘制代码和效果如下所示：

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def drawCircleOnImage(image, radiusLst):
    """
    Draw multiple concentric circles on an image
    :param image: raw image
    :param radiusLst: Radii of concentric circles (Here is a list with multiple radii).
    :return: Returns an image drawn on concentric circles.
    """

    center = (image.shape[0] // 2, image.shape[1] // 2)
    color = (0, 0, 0)
    thickness = 1

    for radius in radiusLst:
        cv.circle(image, center, radius, color, thickness)


def generateSpectrumImage(image):
    # 对原图像进行傅里叶变换，生成频谱图
    dft = cv.dft(np.float32(image), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

    # 将频谱图上的低频移至中心
    f_shift = np.fft.fftshift(dft)

    # 生成可以显示的频谱图
    f_img = 20 * np.log(cv.magnitude(f_shift[:, :, 0], f_shift[:, :, 1]) + 1)
    drawCircleOnImage(f_img, [10, 20, 40, 80, 160, 460])

    # 将低频从中心移回原处
    i_shift = np.fft.ifftshift(f_shift)

    # 进行计算傅里叶逆变换，将频谱图还原回空间域图像
    dst = cv.idft(i_shift)

    # 计算还原图像的幅度，并进行归一化处理
    dst = cv.magnitude(dst[:, :, 0], dst[:, :, 1])

    return f_img, dst


if __name__ == '__main__':
    img = cv.imread('Image/Fig0601.tif', 0)
    img1, img2 = generateSpectrumImage(img)

    # 图像显示
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['font.size'] = 20
    plt.figure(figsize=(20, 10))
    imagesLst = [img, img1, img2]
    labelLst = ["Original Image", "Radius=10", "Radius=20"]

    for i in range(3):
        plt.subplot(1, 3, i + 1), plt.title(labelLst[i]), plt.axis('off')
        plt.imshow(imagesLst[i], cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.savefig("Image/tmp.png")
    plt.show()

如上图所示：我们先将空域图(原始图像)转到频域图，然后将频域图有转为空域图，在经过一次变换后，图像几乎没有发生变化。

2. 低频滤波示例分析

2.1 理想低通滤波

在以原点为中心的一个园内无衰减的通过所有频率，而在这个圆外 “截止” 所有频率的二维低通滤波器，称为 理想低通滤波器（ILPF）。

2.1.1 原理说明

**理想低通滤波器（ILPF）**的传递函数规定如下：$$H(u,v)$$