频率域低通滤波

introduction

图像噪声在空间域通过相邻像素可以去除噪声，但有时效果不理想。典型的空域滤波有均值滤波，中值滤波，高斯滤波等。
将图像转换到频率域后，频率图像具有较高的‘规范性’，依据能量分布可以有效去除噪声，低频部分主要是灰度平滑区域，高频部分可能是噪声或者图像边缘特征，主要是灰度变化较大区域。通过低通滤波器，滤除高频部分，保留低频部分，可有效去除噪声。

ideal lowpass filter

$$H(u,v)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if D(u,v) }\le D_0\\ 0,& \text{if D(u,v)}\ge D_0\end{array}$$
$D_0$表示通带的半径，$D(u,v)$表示两点间的距离。
使用低通滤波器所得到的结果如下所示。低通滤波器滤除了高频成分，所以使得图像模糊。由于理想低通滤波器的过度特性过于急峻，所以会产生了振铃现象。

gaussian lowpass filter

$$H(u,v)=e^{-\frac{D(u,v{)}^2}{2\ast D_0^2}}$$
D0表示通带的半径。高斯滤波器的过度特性非常平坦，因此是不会产生振铃现象的。

[外链图片转存失败(img-mOrcsT0v-1568454970287)(https://img-blog.youkuaiyun.com/20170517163016700?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvc2lsZW5jZTIwMTU=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)]

###penguin demo

%% lowpass filters demo
clear;
clc;
I=imread('penguin.jpg');
I=im2double(I);
if ~(size(I,3)-3)
    I=rgb2gray(I);
end
I=imnoise(I,'gaussian');
[m,n]=size(I);
%% fourier transform
g1=fft2(I);
g1=fftshift(g1);  % 中心化
subplot(1,2,1),imshow(I,[]),title('penguin image with noise');
subplot(1,2,2),imshow(log(1+abs(g1)),[]),title('fourier image of penguin');
%% ideal lowpass filter
H=zeros(m,n);
centerx=m/2;
centery=n/2;
D0=90;
for x=1:m
    for y=1:n
        H(x,y)=exp(-((x-centerx)^2+(y-centery)^2)/(2*D0^2));  %计算高斯滤波模板
    end
end

figure,imshow(H,[]),title('gaussian filter');

g2=H.*g1;
% 先反中心化，在转到空域图像
g3=ifftshift(g2);
I2=real(ifft2(g3));

figure;
subplot(1,2,1),imshow(log(1+abs(g2)),[]),title('fouier image filtered by gaussian filter');
subplot(1,2,2),imshow(I2,[]),title('lowpassed image');

%% gaussian lowpass filter
H=zeros(m,n);

for x=1:m
    for y=1:n
        if sqrt((x-centerx)^2+(y-centery)^2)<160 H(x,y)=1;end
    end
end

figure,imshow(H,[]),title('ideal filter');

g2=H.*g1;
g3=ifftshift(g2);
I2=real(ifft2(g3));

figure;
subplot(1,2,1),imshow(log(1+abs(g2)),[]),title('fouier image filtered by ideal filter');
subplot(1,2,2),imshow(I2,[]),title('lowpassed image');