洛谷 P1216 数字三角形 题解 || 动态规划

一、 [USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles

洛谷：数字三角形

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 $7\to 3\to 8\to 7\to 5$ 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 $r$ ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出 #1

30

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le r\le 1000$，所有输入在 $[0,100]$ 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

二、思考

如下图：给出两幅图，你会想到什么解决办法呢？

错误思路

找到每行的最大值，依次向下查找
如果是按照这样的思路，会发现其他路径还有比当前路径之和大，代码运行失败！

思路分析

题意：从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大?

[分析]

如果熟悉回溯法，你可能会立刻发现这是一个动态的决策问题:每次有两种选择一一左下或右下。如果用回溯法求出所有可能的路线，就可以从中选出最优路线。但和往常一样，回溯法的效率太低:一个n层数字三角形的完整路线有 2”条，当n 很大时回溯法的速度将让人无法忍受。

为了得到高效的算法，需要用抽象的方法思考问题:把当前的位置(,看成一个状态(还记得吗?)，然后定义状态(i的指标函 d(i,为从格子i,出发时能得的最大和(包括格子(G)本身的值)。在这个状态定义下，原问题的解是 d(1,1)。

下面看看不同状态之间是如何转移的。从格子(i,j)出发有两种决策。如果往左走，则走到(i+1,j)后需要求“从(i+1,j),出发后能得到的最大和”这一问题，即 d(i+1,j)。类似地，往右走之后需要求解 d(i11)。由于可以在这两个决策中自由选择，所以应选择 d(i+1,j)和d(i+1,j+1)中较大的一个。
换句话说，得到了所谓的状态转移方程:

d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+l,j),d(i+l,j+I)}

如果往左走，那么最好情况等于(i,)格子里的值a(i,与“从(1出发的最大总和”之和，此时需注意这里的“最大”二字。如果连“从(+1.出发走到底部”这部分的和都不是最大的，加上 a(i,之后肯定也不是最大的。这个性质称为最优子结构 (optimalsubstructure)，也可以描述成“全局最优解包含局部最优解”。不管怎样，状态和状态转移方程一起完整地描述了具体的算法。

回溯法

如图，构造初始的数字三角形

动态规划演示—从底端开始

最优解数字三角形构造完成，最优解为：30

此处回溯找出路径
从第一行开始，减去她它下一行左边或右边最优解的较大值，并从较大值开始往下求解

三、Code

C语言

//数字三角形--模板 
#include <stdio.h>
int max(int a,int b) {
   
   
	return a>b?a:b;
}