018圆锥运动的简易描述

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本文详细解析了惯性导航系统中动坐标系相对于参考坐标系的数学转换模型，包括单位转轴随时间变化的表达式、四元数表示及微分方程，最终推导出角速度向量的计算公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设在任意t时刻，动坐标系b系绕参考坐标系r系 $ox_ry_r$ 平面上的单位转轴

$\left[ \begin{matrix} cos\Omega t \\ sin\Omega t \\ 0 \end{matrix} \right]$

转动了 $ϕ\phi$ 角度。
根据

$Q(t)=cos\frac{\phi}{2}+u(t)sin\frac{\phi}{2}$

则可得到：
$\left[ \begin{matrix} cos(\phi/2) \\ \\ sin(\phi/2)cos\Omega t \\ \\ sin(\phi/2)sin\Omega t \\ \\ 0 \end{matrix} \right]$

微分：

$\dot{Q}(t)= \left[ \begin{matrix} 0 \\ \\ -sin(\phi/2)sin\Omega t \\ \\ sin(\phi/2)cos\Omega t \\ \\ 0 \end{matrix} \right]$

由：

$\dot{Q}(t)=\frac{1}{2} Q(t) \otimes \omega(t)$

得：

$\omega _q (t)=2Q^*(t) \otimes \dot{Q}(t) = \left[ \begin{matrix} 0 \\ \\ -\Omega sin \phi sin\Omega t \\ \\ \Omega sin \phi cos\Omega t \\ \\ -2\Omega sin^2(\phi/2) \end{matrix} \right]$

即：
$\omega(t)= \left[ \begin{matrix} -\Omega sin \phi sin\Omega t \\ \\ \Omega sin \phi cos\Omega t \\ \\ -2\Omega sin^2(\phi/2) \end{matrix} \right] = \Omega sin \phi \left[ \begin{matrix} -sin\Omega t \\ \\ cos\Omega t \\ \\ tan(\phi/2) \end{matrix} \right]$